Номер 14, страница 173, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 14, страница 173.

Условие.

14. Пружину пружинного маятника заменили другой, жёсткость которой в 2 раза больше. Как изменилась частота колебаний?

Решение.

Дано:

$k_1$ - начальная жёсткость пружины

$k_2$ - конечная жёсткость пружины

$\text{m}$ - масса груза маятника

$k_2 = 2k_1$

Найти:

Во сколько раз изменилась частота колебаний, то есть найти отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Частота собственных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\text{m}$ – масса груза.

Начальная частота колебаний маятника с пружиной жёсткостью $k_1$ равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1}{m}}$

После замены пружины на новую с жёсткостью $k_2$, новая частота колебаний $\nu_2$ будет равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_2}{m}}$

Из условия задачи известно, что $k_2 = 2k_1$. Подставим это выражение в формулу для $\nu_2$:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k_1}{m}}$

Чтобы определить, как изменилась частота, найдём отношение новой частоты $\nu_2$ к старой $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k_1}{m}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1}{m}}}$

Сократив общие множители $\frac{1}{2\pi}$, $\sqrt{m}$ и $\sqrt{k_1}$, получим:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\sqrt{2k_1}}{\sqrt{k_1}} = \sqrt{\frac{2k_1}{k_1}} = \sqrt{2}$

Следовательно, $\nu_2 = \nu_1 \cdot \sqrt{2}$. Это означает, что частота колебаний увеличилась в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: Частота колебаний увеличилась в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).