Номер 45, страница 180, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 45, страница 180.

Условие.

45. Когда к пружине подвесили первый груз, она удлинилась на 2 см, а когда к ней подвесили второй груз, она удлинилась на 3 см. Период вертикальных колебаний какого груза на этой пружине будет больше? Насколько больше?

Решение.

Дано:

Удлинение пружины под действием первого груза, $x_1 = 2$ см

Удлинение пружины под действием второго груза, $x_2 = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 0.02$ м

$x_2 = 0.03$ м

Найти:

1. Какой из периодов колебаний ($T_1$ или $T_2$) больше?

2. Найти, во сколько раз один период больше другого.

Решение:

Когда груз массой $\text{m}$ подвешен к пружине и находится в положении равновесия, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$.

Согласно закону Гука, сила упругости определяется как $F_{упр} = kx$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\text{x}$ – её удлинение. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

В состоянии равновесия выполняется равенство: $kx = mg$.

Из этого равенства можно выразить массу груза через удлинение пружины: $m = \frac{kx}{g}$.

Период вертикальных колебаний груза на пружине (пружинного маятника) определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Теперь подставим выражение для массы $\text{m}$ в формулу периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{kx/g}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$

Из полученной формулы видно, что период колебаний прямо пропорционален квадратному корню из удлинения пружины в положении равновесия ($T \sim \sqrt{x}$).

Сравним периоды колебаний для двух грузов:

Период для первого груза: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{x_1}{g}}$

Период для второго груза: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{x_2}{g}}$

Поскольку удлинение пружины во втором случае больше, чем в первом ($x_2 > x_1$, так как 3 см > 2 см), то и период колебаний второго груза будет больше, чем первого: $T_2 > T_1$.

Чтобы определить, во сколько раз период второго груза больше, найдем отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{x_2/g}}{2\pi\sqrt{x_1/g}} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$

Подставим числовые значения удлинений:

$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{3 \text{ см}}{2 \text{ см}}} = \sqrt{1.5} \approx 1.225$

Таким образом, период колебаний второго груза больше периода колебаний первого груза в $\sqrt{1.5}$ раз.

Ответ: Период вертикальных колебаний второго груза будет больше. Он будет больше в $\sqrt{1.5}$ раз (что приблизительно составляет 1.225 раза).