Номер 41, страница 180, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 41, страница 180.

Условие.

41. Пока первый груз на пружине совершает 50 колебаний, второй груз на такой же пружине совершает 30 колебаний. Чему равны массы грузов, если масса одного из них на 160 г больше массы другого?

Решение.

Дано:

Число колебаний первого груза, $N_1 = 50$

Число колебаний второго груза, $N_2 = 30$

Разница масс, $\Delta m = 160 \text{ г}$

Жесткость пружин одинакова, $k_1 = k_2 = k$

Время колебаний одинаково, $t_1 = t_2 = t$

$\Delta m = 160 \text{ г} = 0.160 \text{ кг}$

Найти:

Массу первого груза, $m_1 - ?$

Массу второго груза, $m_2 - ?$

Решение:

Период колебаний груза на пружине (пружинного маятника) определяется формулой:

$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $

где $\text{T}$ - период колебаний, $\text{m}$ - масса груза, а $\text{k}$ - жесткость пружины.

Период также можно определить как время, затраченное на одно полное колебание, то есть $T = \frac{t}{N}$, где $\text{t}$ - общее время колебаний, а $\text{N}$ - число колебаний за это время.

Поскольку оба груза колеблются на одинаковых пружинах ($k_1 = k_2 = k$) в течение одного и того же промежутка времени ($t_1 = t_2 = t$), мы можем записать соотношения для периодов.

Отношение периодов через число колебаний:

$ T_1 = \frac{t}{N_1} $, $ T_2 = \frac{t}{N_2} \implies \frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1} $

Отношение периодов через массы грузов:

$ T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} $, $ T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \implies \frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{m_1/k}}{2 \pi \sqrt{m_2/k}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} $

Приравнивая два полученных выражения для отношения периодов, получаем:

$ \frac{N_2}{N_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} $

Подставим известные значения числа колебаний $N_1=50$ и $N_2=30$:

$ \frac{30}{50} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \implies \frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} $

Чтобы найти отношение масс, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\frac{3}{5})^2 = \frac{m_1}{m_2} \implies \frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{25} $

Из этого соотношения следует, что $m_1 < m_2$. Это согласуется с условием задачи, так как груз с меньшей массой совершает колебания с большей частотой (и, соответственно, большее число колебаний за то же время).

По условию, масса одного груза на 160 г больше массы другого. Поскольку $m_2$ больше $m_1$, мы можем записать:

$ m_2 - m_1 = \Delta m $

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $m_1$ и $m_2$:

$ \begin{cases} \frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{25} \\ m_2 - m_1 = \Delta m \end{cases} $

Выразим $m_1$ из первого уравнения: $m_1 = \frac{9}{25}m_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ m_2 - \frac{9}{25}m_2 = \Delta m $

$ (\frac{25}{25} - \frac{9}{25})m_2 = \Delta m $

$ \frac{16}{25}m_2 = \Delta m $

Отсюда выразим и найдем $m_2$, используя значение $\Delta m$ в системе СИ ($0.160$ кг):

$ m_2 = \frac{25}{16} \Delta m = \frac{25}{16} \cdot 0.160 \text{ кг} = 25 \cdot 0.010 \text{ кг} = 0.250 \text{ кг} $

Теперь найдем массу $m_1$:

$ m_1 = m_2 - \Delta m = 0.250 \text{ кг} - 0.160 \text{ кг} = 0.090 \text{ кг} $

Переведем найденные массы в граммы:

$ m_1 = 90 \text{ г} $

$ m_2 = 250 \text{ г} $

Ответ: масса первого груза равна 90 г, масса второго груза равна 250 г.