Номер 40, страница 180, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 40, страница 180.

Условие.

40. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменятся период и частота колебаний, если медный шарик заменить алюминиевым вдвое большего радиуса?

Решение.

Дано:

$r_{Cu}$ - радиус медного шарика
$\rho_{Cu}$ - плотность меди
$r_{Al} = 2r_{Cu}$ - радиус алюминиевого шарика
$\rho_{Al}$ - плотность алюминия
$\text{k}$ - жесткость пружины (неизменна)

Справочные данные в системе СИ:
$\rho_{Cu} \approx 8960 \text{ кг/м}^3$
$\rho_{Al} \approx 2700 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Как изменятся период $\text{T}$ и частота $\nu$ колебаний.

Решение:

Период $\text{T}$ колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ — масса груза (шарика), а $\text{k}$ — жесткость пружины.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Из формул видно, что период и частота зависят от массы шарика. Найдем, как изменится масса при замене шарика.

Масса шара вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ - плотность материала, а $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ - объем шара.

1. Масса исходного медного шарика:

$m_{Cu} = \rho_{Cu} \cdot V_{Cu} = \rho_{Cu} \cdot \frac{4}{3}\pi r_{Cu}^3$

2. Масса нового алюминиевого шарика с радиусом $r_{Al} = 2r_{Cu}$:

$m_{Al} = \rho_{Al} \cdot V_{Al} = \rho_{Al} \cdot \frac{4}{3}\pi r_{Al}^3 = \rho_{Al} \cdot \frac{4}{3}\pi (2r_{Cu})^3 = \rho_{Al} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 8r_{Cu}^3 = 8\rho_{Al} \frac{4}{3}\pi r_{Cu}^3$

3. Найдем отношение масс нового и старого шариков:

$\frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{8\rho_{Al} \frac{4}{3}\pi r_{Cu}^3}{\rho_{Cu} \frac{4}{3}\pi r_{Cu}^3} = \frac{8\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}$

Подставим значения плотностей:

$\frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{8 \cdot 2700}{8960} = \frac{21600}{8960} \approx 2.41$

Таким образом, масса шарика увеличится примерно в 2.41 раза.

4. Теперь найдем, как изменится период. Обозначим начальный период $T_1$, а конечный $T_2$.

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_{Al}}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_{Cu}}{k}}} = \sqrt{\frac{m_{Al}}{m_{Cu}}} \approx \sqrt{2.41} \approx 1.55$

Период колебаний увеличится примерно в 1.55 раза.

5. Найдем, как изменится частота. Обозначим начальную частоту $\nu_1$, а конечную $\nu_2$.

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{Al}}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{Cu}}}} = \sqrt{\frac{m_{Cu}}{m_{Al}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{m_{Al}}{m_{Cu}}}} \approx \frac{1}{1.55} \approx 0.645$

Частота колебаний уменьшится. Новая частота будет составлять примерно 0.645 от старой, то есть частота уменьшится примерно в 1.55 раза.

Ответ: При замене медного шарика на алюминиевый вдвое большего радиуса масса системы увеличится примерно в 2.41 раза. Вследствие этого период колебаний увеличится примерно в 1.55 раза, а частота колебаний уменьшится примерно в 1.55 раза.