Номер 42, страница 180, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 42, страница 180.

Условие.

42. Пока первый нитяной маятник совершает 50 колебаний, второй совершает 30 колебаний. Нить одного из маятников на 32 см длиннее нити другого. Чему равны длины нитей маятников?

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 50$.

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$.

Разница в длинах нитей, $\Delta l = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$.

Найти:

Длины нитей маятников $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Период колебаний нитяного маятника $\text{T}$ зависит от длины его нити $\text{l}$ и ускорения свободного падения $\text{g}$ и определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период также можно определить как время $\text{t}$, затраченное на совершение $\text{N}$ полных колебаний:

$T = \frac{t}{N}$

По условию задачи, оба маятника совершают колебания в течение одного и того же промежутка времени $\text{t}$. Запишем периоды для каждого маятника:

$T_1 = \frac{t}{N_1}$ и $T_2 = \frac{t}{N_2}$

Найдем отношение периодов колебаний двух маятников:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$

Теперь выразим отношение периодов через формулу Гюйгенса:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравняв оба выражения для отношения периодов, получим:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{3}{5}$

Чтобы найти отношение длин, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_1}{l_2} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Из этого соотношения следует, что $l_1 = \frac{9}{25}l_2$. Это означает, что длина нити первого маятника меньше длины нити второго ($l_1 < l_2$). Это согласуется с тем, что первый маятник (более короткий) совершает больше колебаний за то же время.

По условию, разница в длинах составляет $\Delta l = 32$ см. Так как $l_2$ больше $l_1$, можем записать:

$l_2 - l_1 = \Delta l$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $l_1 = \frac{9}{25}l_2$

2) $l_2 - l_1 = 0.32 \text{ м}$

Подставим выражение для $l_1$ из первого уравнения во второе:

$l_2 - \frac{9}{25}l_2 = 0.32$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{25l_2 - 9l_2}{25} = 0.32$

$\frac{16}{25}l_2 = 0.32$

Выразим $l_2$:

$l_2 = \frac{0.32 \times 25}{16} = 0.02 \times 25 = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем длину $l_1$, используя второе уравнение:

$l_1 = l_2 - 0.32 = 0.5 - 0.32 = 0.18 \text{ м}$

Таким образом, длина нити одного маятника равна 0.18 м (18 см), а другого — 0.5 м (50 см).

Ответ: длины нитей маятников равны 18 см и 50 см.