Номер 43, страница 180, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 43, страница 180.

Условие.

43. Если подвесить к пружине деревянный брусок, он будет колебаться с периодом 1 с, а если заменить брусок медным цилиндром, то период колебаний будет равен 2,4 с. Чему будет равен период колебаний, если подвесить брусок и цилиндр вместе?

Решение.

Дано:

Период колебаний с деревянным бруском, $T_1 = 1$ с.

Период колебаний с медным цилиндром, $T_2 = 2,4$ с.

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний, если подвесить брусок и цилиндр вместе, $T_3$ - ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле Томпсона:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{T}$ — период колебаний, $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины.

Для первого случая, когда к пружине подвешен деревянный брусок массой $m_1$, период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Для второго случая, когда к той же пружине подвешен медный цилиндр массой $m_2$, период колебаний равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Когда к пружине подвешивают брусок и цилиндр вместе, их общая масса становится $m_3 = m_1 + m_2$. Период колебаний $T_3$ для этого случая будет:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{m_3}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$

Чтобы найти $T_3$, выразим массы $m_1$ и $m_2$ из формул для $T_1$ и $T_2$. Для этого возведем обе части уравнений для периодов в квадрат:

$T_1^2 = (2\pi)^2 \frac{m_1}{k} \implies m_1 = \frac{T_1^2 k}{4\pi^2}$

$T_2^2 = (2\pi)^2 \frac{m_2}{k} \implies m_2 = \frac{T_2^2 k}{4\pi^2}$

Теперь подставим полученные выражения для масс $m_1$ и $m_2$ в формулу для периода $T_3$:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{T_1^2 k}{4\pi^2} + \frac{T_2^2 k}{4\pi^2}}{k}}$

Вынесем общий множитель $\frac{k}{4\pi^2}$ в числителе подкоренного выражения:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{k}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{k}}$

Сократим жесткость пружины $\text{k}$:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Извлечем $4\pi^2$ из-под знака корня:

$T_3 = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Теперь мы можем рассчитать значение $T_3$, подставив известные значения $T_1$ и $T_2$:

$T_3 = \sqrt{(1 \text{ с})^2 + (2,4 \text{ с})^2} = \sqrt{1 \text{ с}^2 + 5,76 \text{ с}^2} = \sqrt{6,76 \text{ с}^2} = 2,6$ с.

Ответ: период колебаний, если подвесить брусок и цилиндр вместе, будет равен $2,6$ с.