Номер 36, страница 179, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 36, страница 179.

Условие.

36. Частота колебаний груза равна $440 \text{ Гц}$, амплитуда колебаний равна $0,2 \text{ мм}$. Сколько раз модуль смещения груза принимает значение $0,2 \text{ мм}$ в течение $10 \text{ с}$, если в начальный момент груз находится в положении равновесия?

Решение.

Дано:

Частота колебаний, $\nu = 440$ Гц

Амплитуда колебаний, $A = 0,2$ мм

Время, $t = 10$ с

Начальное условие: в момент $t_0=0$ смещение $x_0 = 0$ (положение равновесия)

Искомое значение модуля смещения: $|x| = 0,2$ мм

$A = 0,2 \text{ мм} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Количество раз $\text{n}$, когда модуль смещения принимает значение $0,2$ мм.

Решение:

В задаче рассматриваются гармонические колебания. Уравнение смещения груза от положения равновесия в зависимости от времени $\text{t}$ можно записать в виде $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, $\phi_0$ – начальная фаза.

Из начального условия известно, что в момент времени $t=0$ груз находится в положении равновесия, то есть $x(0) = 0$. Подставим это в уравнение:

$x(0) = A \sin(\phi_0) = 0$

Отсюда следует, что $\sin(\phi_0) = 0$, значит начальная фаза $\phi_0 = 0$ (или $\pi$, но для простоты выберем 0). Таким образом, уравнение движения груза имеет вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

Нам нужно найти, сколько раз модуль смещения $|x(t)|$ принимает значение $0,2$ мм. Заметим, что это значение равно амплитуде колебаний $\text{A}$.

Итак, ищем количество решений уравнения $|x(t)| = A$ на интервале времени от 0 до 10 с.

$|A \sin(\omega t)| = A$

Поскольку $A \neq 0$, мы можем разделить обе части на $\text{A}$:

$|\sin(\omega t)| = 1$

Это равенство выполняется, когда тело достигает максимального смещения от положения равновесия, то есть в точках $x = +A$ и $x = -A$.

За один полный период колебаний $\text{T}$ тело совершает одно полное колебание. Оно начинается в положении равновесия ($x=0$), достигает максимального положительного смещения ($x=+A$), возвращается в положение равновесия ($x=0$), достигает максимального отрицательного смещения ($x=-A$) и снова возвращается в положение равновесия ($x=0$). Таким образом, за один полный период колебаний модуль смещения дважды принимает значение, равное амплитуде.

Частота колебаний $\nu$ – это количество полных колебаний, совершаемых за одну секунду. Найдем общее количество колебаний $\text{N}$, которое совершит груз за время $t = 10$ с:

$N = \nu \cdot t$

$N = 440 \text{ Гц} \cdot 10 \text{ с} = 4400$

Груз совершит 4400 полных колебаний.

Поскольку за каждое полное колебание модуль смещения достигает значения амплитуды дважды, общее количество раз $\text{n}$, когда это произойдет, равно:

$n = 2 \cdot N = 2 \cdot 4400 = 8800$

Ответ: 8800 раз.