Номер 38, страница 179, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава IV. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 38, страница 179.

Условие.

38. Подвешенный на нити длиной 1 м небольшой груз массой 100 г совершает колебания. При наибольшем отклонении от положения равновесия груз поднимается на 2 см по сравнению с положением равновесия. Нулевому значению потенциальной энергии груза сопоставим положение равновесия. В начальный момент скорость груза равна нулю. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Чему равна потенциальная энергия груза в начальный момент?

б) Чему равна кинетическая энергия груза через 0,5 с после начального момента?

в) Чему равна скорость груза через 0,5 с после начального момента?

Положение равновесия

Решение.

Дано:

l = 1 м

m = 100 г = 0,1 кг

h_max = 2 см = 0,02 м

t = 0,5 с

v₀ = 0 м/с (в начальный момент)

g ≈ 9,8 м/с²

Найти:

а) E_p0 - ?

б) E_k(t) - ?

в) v(t) - ?

Решение:

а) Чему равна потенциальная энергия груза в начальный момент?

В начальный момент времени ($t=0$) груз находится в точке наибольшего отклонения от положения равновесия. По условию, в этот момент его скорость равна нулю, а высота над положением равновесия максимальна ($h_{max} = 0,02$ м). Потенциальная энергия тела, поднятого над нулевым уровнем, вычисляется по формуле:

$E_p = mgh$

Подставим значения для начального момента:

$E_{p0} = mgh_{max} = 0,1 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0,02 \, \text{м} = 0,0196 \, \text{Дж}$

Ответ: Потенциальная энергия груза в начальный момент равна 0,0196 Дж.

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия маятника сохраняется. В начальный момент времени кинетическая энергия равна нулю ($E_{k0}=0$), поэтому полная механическая энергия системы равна начальной потенциальной энергии:

$E_{полная} = E_{p0} + E_{k0} = 0,0196 \, \text{Дж} + 0 = 0,0196 \, \text{Дж}$

Для определения состояния маятника через $t = 0,5$ с найдем период его колебаний. Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1 \, \text{м}}{9,8 \, \text{м/с}^2}} \approx 6,283 \cdot 0,319 \, \text{с} \approx 2,007 \, \text{с}$

Маятник начинает движение из крайнего положения (максимального отклонения). Время, за которое он достигает положения равновесия, составляет одну четверть периода ($T/4$).

$t_{равн} = \frac{T}{4} \approx \frac{2,007 \, \text{с}}{4} \approx 0,502 \, \text{с}$

Заданный момент времени $t = 0,5$ с очень близок ко времени прохождения положения равновесия. Поэтому для решения задачи можно считать, что через 0,5 с груз находится в положении равновесия.

б) Чему равна кинетическая энергия груза через 0,5 с после начального момента?

В положении равновесия высота груза над нулевым уровнем равна нулю ($h=0$), следовательно, его потенциальная энергия в этот момент также равна нулю ($E_p(t) \approx 0$).

Согласно закону сохранения полной механической энергии:

$E_{полная} = E_p(t) + E_k(t)$

Отсюда находим кинетическую энергию в момент времени $t = 0,5$ с:

$E_k(t) = E_{полная} - E_p(t) \approx 0,0196 \, \text{Дж} - 0 = 0,0196 \, \text{Дж}$

Ответ: Кинетическая энергия груза через 0,5 с приблизительно равна 0,0196 Дж.

в) Чему равна скорость груза через 0,5 с после начального момента?

Зная кинетическую энергию груза, можно найти его скорость из формулы:

$E_k(t) = \frac{mv(t)^2}{2}$

Выразим из этой формулы скорость $v(t)$:

$v(t) = \sqrt{\frac{2E_k(t)}{m}}$

Подставим числовые значения:

$v(t) \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 0,0196 \, \text{Дж}}{0,1 \, \text{кг}}} = \sqrt{0,392} \, \text{м/с} \approx 0,626 \, \text{м/с}$

Ответ: Скорость груза через 0,5 с приблизительно равна 0,626 м/с.