Номер 198, страница 101, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 6. Электромагнитные явления - номер 198, страница 101.

Условие.

198. Железную проволоку какой длины надо взять, чтобы её сопротивление было таким же, как сопротивление 10 м алюминиевой проволоки сечением $4 \text{ мм}^2$? Площадь поперечного сечения железной проволоки $2 \text{ мм}^2$.

Решение.

Дано:

Длина алюминиевой проволоки, $l_{ал} = 10 \text{ м}$
Площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки, $S_{ал} = 4 \text{ мм}^2$
Площадь поперечного сечения железной проволоки, $S_{ж} = 2 \text{ мм}^2$
Условие равенства сопротивлений, $R_{ж} = R_{ал}$
Удельное сопротивление алюминия (из таблиц), $\rho_{ал} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление железа (из таблиц), $\rho_{ж} = 0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

$S_{ал} = 4 \text{ мм}^2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$S_{ж} = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho_{ал} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_{ж} = 0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину железной проволоки, $l_{ж}$

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, а $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивлений железной ($R_{ж}$) и алюминиевой ($R_{ал}$) проволок:

$R_{ж} = \rho_{ж} \frac{l_{ж}}{S_{ж}}$

$R_{ал} = \rho_{ал} \frac{l_{ал}}{S_{ал}}$

По условию задачи, сопротивления проволок равны ($R_{ж} = R_{ал}$). Следовательно, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$\rho_{ж} \frac{l_{ж}}{S_{ж}} = \rho_{ал} \frac{l_{ал}}{S_{ал}}$

Из этого равенства выразим искомую длину железной проволоки $l_{ж}$:

$l_{ж} = l_{ал} \cdot \frac{\rho_{ал}}{\rho_{ж}} \cdot \frac{S_{ж}}{S_{ал}}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу. Расчет удобнее производить, используя удельное сопротивление в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ и площади сечения в $\text{мм}^2$, так как в этом случае единицы измерения сокращаются.

$l_{ж} = 10 \text{ м} \cdot \frac{0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} \cdot \frac{2 \text{ мм}^2}{4 \text{ мм}^2}$

Выполним вычисления:

$l_{ж} = 10 \cdot 0.28 \cdot 0.5 \text{ м} = 1.4 \text{ м}$

Ответ: чтобы сопротивление железной проволоки было таким же, как у алюминиевой, ее длина должна быть 1,4 м.