Номер 47, страница 66, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 3. Давление. Закон Архимеда и плавание тел - номер 47, страница 66.

Условие.

47. Человек массой 70 кг, надавив всем своим весом на поршень в узком сосуде гидравлического пресса, поднимает с его помощью груз массой 2,52 т. Во сколько раз диаметр широкого сосуда пресса больше, чем диаметр узкого?

Решение.

Дано:

Масса человека $m_1 = 70$ кг
Масса груза $m_2 = 2,52$ т

$m_2 = 2,52 \cdot 1000 = 2520$ кг

Найти:

Отношение диаметров $\frac{d_2}{d_1}$ - ?

Решение:

В основе работы гидравлического пресса лежит закон Паскаля, согласно которому давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Это означает, что давление под малым (узким) поршнем равно давлению под большим (широким) поршнем.

$p_1 = p_2$

Давление $\text{p}$ определяется как отношение силы $\text{F}$ к площади поверхности $\text{S}$, на которую эта сила действует: $p = \frac{F}{S}$. Следовательно, для гидравлического пресса можно записать:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

В данном случае сила $F_1$ — это вес человека, действующий на малый поршень, а $F_2$ — это вес груза, который поднимает большой поршень. Вес вычисляется по формуле $F = mg$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

$F_1 = m_1 g$
$F_2 = m_2 g$

Подставим выражения для сил в формулу равенства давлений:

$\frac{m_1 g}{S_1} = \frac{m_2 g}{S_2}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ сокращается:

$\frac{m_1}{S_1} = \frac{m_2}{S_2}$

Отсюда можно выразить отношение площадей поршней:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{m_2}{m_1}$

Площадь круглого поршня с диаметром $\text{d}$ вычисляется по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Подставим эту формулу для $S_1$ и $S_2$:

$\frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{m_2}{m_1}$

Константы $\pi$ и 4 сокращаются, и мы получаем отношение квадратов диаметров:

$\frac{d_2^2}{d_1^2} = (\frac{d_2}{d_1})^2 = \frac{m_2}{m_1}$

Чтобы найти отношение диаметров $\frac{d_2}{d_1}$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{2520 \text{ кг}}{70 \text{ кг}}} = \sqrt{36} = 6$

Ответ: Диаметр широкого сосуда пресса больше диаметра узкого в 6 раз.