Номер 56, страница 68, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 3. Давление. Закон Архимеда и плавание тел - номер 56, страница 68.

Условие.

56. Туго накачанный мяч массой 400 г и объёмом 4 дм³ погружают в воду до половины и удерживают рукой в этом положении.

а) Сделайте чертёж, на котором изобразите все приложенные к мячу силы. Внешнюю силу обозначьте $\vec{F}$, а силу Архимеда — $\vec{F}_{\text{A}}$.

б) Чему равна действующая на мяч сила Архимеда?

в) Какую силу надо прикладывать рукой к мячу, чтобы удерживать его в таком положении?

г) Какую силу надо приложить рукой, чтобы утопить мяч в воде полностью?

д) Какую силу надо прикладывать к мячу, чтобы удерживать его в воде на глубине 1 м?

е) Какая часть объёма мяча погружена в воду, когда действующая на мяч сила Архимеда уравновешивает силу тяжести?

ж) Будет ли мяч находиться при этом в равновесии?

Решение.

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$V = 4 \text{ дм}^3 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Плотность воды $\rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

а) Изобразить силы на чертеже

б) $F_{\text{А}}$ - ? (при погружении наполовину)

в) $\text{F}$ - ? (для удержания наполовину погруженным)

г) $\text{F}$ - ? (для полного утопления)

д) $\text{F}$ - ? (на глубине 1 м)

е) $V_{\text{погр}}/V$ - ? (при свободном плавании)

ж) Будет ли равновесие в случае е)

Решение

а) Сделайте чертёж, на котором изобразите все приложенные к мячу силы. Внешнюю силу обозначьте $\vec{F}$, а силу Архимеда — $\vec{F_A}$.

На мяч, погруженный в воду наполовину и удерживаемый рукой, действуют три силы:

1. Сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз, приложенная к центру масс мяча.

2. Выталкивающая сила, или сила Архимеда ($\vec{F_A}$), направленная вертикально вверх, приложенная к центру погруженной части объёма мяча.

3. Внешняя сила со стороны руки ($\vec{F}$). Поскольку средняя плотность мяча ($\rho_{\text{м}} = m/V = 0.4 / 0.004 = 100$ кг/м$^3$) меньше плотности воды, мяч стремится всплыть. Чтобы удержать его наполовину погруженным, необходимо прикладывать силу, направленную вертикально вниз.

Чертёж будет выглядеть как сфера, наполовину находящаяся под линией уровня воды. Из центра сферы будет исходить вектор $m\vec{g}$ вниз, вектор $\vec{F}$ вниз, а из центра погруженной части — вектор $\vec{F_A}$ вверх. При этом, так как $F_A > mg$, то для равновесия сила $\text{F}$ должна быть направлена вниз.

Ответ: На мяч действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (вниз), сила Архимеда $\vec{F_A}$ (вверх) и удерживающая сила руки $\vec{F}$ (вниз).

б) Чему равна действующая на мяч сила Архимеда?

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Так как мяч погружен на половину своего объёма, объём вытесненной воды $V_{\text{погр}}$ равен $V/2$.

$V_{\text{погр}} = \frac{V}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{2} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Сила Архимеда рассчитывается по формуле:

$F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 20 \text{ Н}$

Ответ: Действующая на мяч сила Архимеда равна $20$ Н.

в) Какую силу надо прикладывать рукой к мячу, чтобы удерживать его в таком положении?

Для удержания мяча в равновесии сумма всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. Направим ось OY вертикально вверх. Тогда условие равновесия:

$F_{\text{А}} - F_{\text{т}} - F = 0$

где $F_{\text{т}}$ - сила тяжести, $\text{F}$ - искомая сила руки.

$F_{\text{т}} = m \cdot g = 0.4 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 4 \text{ Н}$

Отсюда находим силу $\text{F}$:

$F = F_{\text{А}} - F_{\text{т}} = 20 \text{ Н} - 4 \text{ Н} = 16 \text{ Н}$

Ответ: Надо прикладывать силу $16$ Н, направленную вниз.

г) Какую силу надо приложить рукой, чтобы утопить мяч в воде полностью?

Когда мяч утоплен полностью, объём вытесненной воды равен полному объёму мяча, $V_{\text{погр}} = V$. Сила Архимеда в этом случае будет:

$F_{\text{А}}' = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 40 \text{ Н}$

Условие равновесия такое же:

$F' = F_{\text{А}}' - F_{\text{т}} = 40 \text{ Н} - 4 \text{ Н} = 36 \text{ Н}$

Ответ: Надо приложить силу $36$ Н, направленную вниз.

д) Какую силу надо прикладывать к мячу, чтобы удерживать его в воде на глубине 1 м?

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженное тело в несжимаемой жидкости, не зависит от глубины погружения. Поэтому сила, необходимая для удержания мяча, также не изменится.

Ответ: Надо прикладывать ту же силу, что и для полного утопления у поверхности, то есть $36$ Н.

е) Какая часть объёма мяча погружена в воду, когда действующая на мяч сила Архимеда уравновешивает силу тяжести?

Это условие свободного плавания тела. В этом случае внешняя сила отсутствует ($F=0$), а сила Архимеда равна силе тяжести.

$F_{\text{А}}'' = F_{\text{т}}$

$\rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}}'' = m \cdot g$

Отсюда можем найти объём погруженной части:

$V_{\text{погр}}'' = \frac{m}{\rho_{\text{в}}} = \frac{0.4 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.0004 \text{ м}^3 = 0.4 \text{ дм}^3$

Чтобы найти, какую часть объёма это составляет, разделим погруженный объём на полный объём мяча:

$\frac{V_{\text{погр}}''}{V} = \frac{0.4 \text{ дм}^3}{4 \text{ дм}^3} = 0.1$

Ответ: В воду погружена $0.1$ (или $1/10$) часть объёма мяча.

ж) Будет ли мяч находиться при этом в равновесии?

Да, состояние, при котором сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, является состоянием равновесия. Это условие свободного плавания тела на поверхности жидкости. Сумма сил, действующих на мяч, равна нулю.

Ответ: Да, мяч будет находиться в равновесии.