Номер 63, страница 68, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 3. Давление. Закон Архимеда и плавание тел - номер 63, страница 68.

Условие.

63. Алюминиевый куб оказывает на стол в 2 раза меньшее давление, чем медный.

а) Чему равно отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба?

б) Чему равно отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба?

Решение.

Дано:

$p_{Cu} = 2 \cdot p_{Al}$

$\rho_{Al} = 2700 \, \frac{кг}{м^3}$

$\rho_{Cu} = 8900 \, \frac{кг}{м^3}$

Найти:

а) $\frac{a_{Al}}{a_{Cu}}$

б) $\frac{m_{Al}}{m_{Cu}}$

Решение:

Давление $\text{p}$, которое твердое тело оказывает на опору, вычисляется по формуле $p = \frac{F}{S}$, где $\text{F}$ – сила, действующая перпендикулярно опоре, а $\text{S}$ – площадь опоры.

В нашем случае сила $\text{F}$ – это сила тяжести куба, $F = m \cdot g$, где $\text{m}$ – масса куба, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Площадь опоры $\text{S}$ – это площадь грани куба, $S=a^2$, где $\text{a}$ – длина ребра куба.

Масса куба связана с его плотностью $\rho$ и объемом $\text{V}$ соотношением $m = \rho \cdot V$. Объем куба равен $V=a^3$.

Объединив формулы, получим выражение для давления куба на стол:

$p = \frac{F}{S} = \frac{m \cdot g}{S} = \frac{\rho \cdot V \cdot g}{S} = \frac{\rho \cdot a^3 \cdot g}{a^2} = \rho \cdot a \cdot g$

а) Чему равно отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба?

Запишем выражения для давлений, создаваемых алюминиевым ($p_{Al}$) и медным ($p_{Cu}$) кубами, используя выведенную формулу:

$p_{Al} = \rho_{Al} \cdot a_{Al} \cdot g$

$p_{Cu} = \rho_{Cu} \cdot a_{Cu} \cdot g$

Из условия задачи известно, что давление алюминиевого куба в 2 раза меньше давления медного, то есть $p_{Cu} = 2 \cdot p_{Al}$.

Подставим в это равенство выражения для давлений:

$\rho_{Cu} \cdot a_{Cu} \cdot g = 2 \cdot (\rho_{Al} \cdot a_{Al} \cdot g)$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_{Cu} \cdot a_{Cu} = 2 \cdot \rho_{Al} \cdot a_{Al}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение длин ребер $\frac{a_{Al}}{a_{Cu}}$:

$\frac{a_{Al}}{a_{Cu}} = \frac{\rho_{Cu}}{2 \cdot \rho_{Al}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей алюминия и меди:

$\frac{a_{Al}}{a_{Cu}} = \frac{8900 \, \frac{кг}{м^3}}{2 \cdot 2700 \, \frac{кг}{м^3}} = \frac{8900}{5400} = \frac{89}{54} \approx 1.65$

Ответ: Отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба равно $\frac{89}{54}$ (или приблизительно 1.65).

б) Чему равно отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба?

Масса куба вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V = \rho \cdot a^3$.

Запишем выражения для масс алюминиевого ($m_{Al}$) и медного ($m_{Cu}$) кубов:

$m_{Al} = \rho_{Al} \cdot a_{Al}^3$

$m_{Cu} = \rho_{Cu} \cdot a_{Cu}^3$

Найдем отношение масс:

$\frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} \cdot a_{Al}^3}{\rho_{Cu} \cdot a_{Cu}^3} = \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}} \cdot \left(\frac{a_{Al}}{a_{Cu}}\right)^3$

Из пункта а) нам известно, что $\frac{a_{Al}}{a_{Cu}} = \frac{\rho_{Cu}}{2 \cdot \rho_{Al}}$. Подставим это выражение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}} \cdot \left(\frac{\rho_{Cu}}{2 \cdot \rho_{Al}}\right)^3 = \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}} \cdot \frac{\rho_{Cu}^3}{8 \cdot \rho_{Al}^3} = \frac{\rho_{Cu}^2}{8 \cdot \rho_{Al}^2} = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}\right)^2$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{8900 \, \frac{кг}{м^3}}{2700 \, \frac{кг}{м^3}}\right)^2 = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{89}{27}\right)^2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{7921}{729} = \frac{7921}{5832} \approx 1.36$

Ответ: Отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба равно $\frac{7921}{5832}$ (или приблизительно 1.36).