Номер 66, страница 69, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 3. Давление. Закон Архимеда и плавание тел - номер 66, страница 69.

Условие.

66. В измерительный цилиндр высотой 20 см налили ртуть, а поверх неё воду, так что цилиндр оказался заполненным доверху. Чему равно давление на дно сосуда, если одинаковы:

а) объёмы жидкостей;

б) массы жидкостей?

Решение.

а) объёмы жидкостей;

Дано:

Высота цилиндра, $H = 20 \text{ см}$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность ртути, $\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$

Объём воды равен объёму ртути, $V_в = V_р$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$H = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Давление на дно сосуда, $P_{общ}$ - ?

Решение:

Общее давление на дно сосуда складывается из давления столба воды и давления столба ртути.

$P_{общ} = P_в + P_р$

Давление столба жидкости определяется по формуле $P = \rho g h$. Таким образом:

$P_{общ} = \rho_в g h_в + \rho_р g h_р$

где $h_в$ и $h_р$ – высоты столбов воды и ртути соответственно.

Объём жидкости в цилиндре равен $V = S \cdot h$, где $\text{S}$ – площадь основания цилиндра.

По условию объёмы жидкостей одинаковы ($V_в = V_р$), следовательно:

$S \cdot h_в = S \cdot h_р$

Отсюда следует, что высоты столбов жидкостей также равны: $h_в = h_р$.

Сумма высот столбов равна общей высоте цилиндра:

$h_в + h_р = H$

Так как $h_в = h_р$, получаем $2h_в = H$, значит $h_в = h_р = \frac{H}{2}$.

Вычисляем высоту каждого столба:

$h_в = h_р = \frac{0.2 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать общее давление на дно:

$P_{общ} = g \cdot h_в \cdot (\rho_в + \rho_р) = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} + 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$

$P_{общ} = 0.98 \cdot 14600 = 14308 \text{ Па}$

Результат можно выразить в килопаскалях: $14308 \text{ Па} \approx 14.3 \text{ кПа}$.

Ответ: $14308 \text{ Па}$ (или примерно $14.3 \text{ кПа}$).

б) массы жидкостей?

Дано:

Высота цилиндра, $H = 20 \text{ см}$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность ртути, $\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$

Масса воды равна массе ртути, $m_в = m_р$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$H = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Давление на дно сосуда, $P_{общ}$ - ?

Решение:

Общее давление на дно, как и в предыдущем случае, равно сумме давлений столбов жидкостей:

$P_{общ} = \rho_в g h_в + \rho_р g h_р$

Масса жидкости в цилиндре выражается через плотность и объём: $m = \rho V = \rho S h$.

По условию массы жидкостей равны ($m_в = m_р$), следовательно:

$\rho_в S h_в = \rho_р S h_р$

Сократив площадь $\text{S}$, получаем соотношение между высотами столбов:

$\rho_в h_в = \rho_р h_р$

Выразим высоту столба воды через высоту столба ртути:

$h_в = \frac{\rho_р}{\rho_в} h_р$

Сумма высот по-прежнему равна высоте цилиндра:

$h_в + h_р = H$

Подставим выражение для $h_в$ в это уравнение:

$\frac{\rho_р}{\rho_в} h_р + h_р = H$

$h_р \left(\frac{\rho_р}{\rho_в} + 1\right) = H \implies h_р \left(\frac{\rho_р + \rho_в}{\rho_в}\right) = H$

Отсюда находим высоту столба ртути:

$h_р = H \frac{\rho_в}{\rho_в + \rho_р} = 0.2 \text{ м} \cdot \frac{1000}{1000 + 13600} = 0.2 \cdot \frac{1000}{14600} \approx 0.0137 \text{ м}$

И высоту столба воды:

$h_в = H - h_р \approx 0.2 - 0.0137 = 0.1863 \text{ м}$

Теперь рассчитаем общее давление:

$P_{общ} = g (\rho_в h_в + \rho_р h_р)$

Так как из условия равенства масс следует, что $\rho_в h_в = \rho_р h_р$, то можно записать:

$P_{общ} = g (2 \rho_в h_в) = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.1863 \text{ м}) \approx 3651.5 \text{ Па}$

Результат можно выразить в килопаскалях: $3651.5 \text{ Па} \approx 3.65 \text{ кПа}$.

Ответ: примерно $3651.5 \text{ Па}$ (или $3.65 \text{ кПа}$).