Номер 72, страница 69, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 3. Давление. Закон Архимеда и плавание тел - номер 72, страница 69.

Условие.

72. Чему может быть равна масса плоской льдины, если она не погружается полностью в воду, когда на неё помещают груз массой 60 кг?

Решение.

Дано:

$m_г = 60$ кг
$\rho_в \approx 1000$ кг/м³ (плотность пресной воды)
$\rho_л \approx 900$ кг/м³ (плотность льда)

Найти:

$m_л$

Решение:

Когда льдина с грузом плавает на поверхности воды, сила тяжести, действующая на систему (льдина + груз), уравновешивается выталкивающей силой Архимеда. Условие плавания тел можно записать в виде равенства силы тяжести $F_т$ и архимедовой силы $F_А$:

$F_т = F_А$

Сила тяжести, действующая на льдину с грузом, равна:

$F_т = (m_л + m_г)g$

где $m_л$ – масса льдины, $m_г$ – масса груза, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу вытесненной воды:

$F_А = \rho_в g V_{погр}$

где $\rho_в$ – плотность воды, а $V_{погр}$ – объем погруженной в воду части льдины.

Приравнивая силы, получаем:

$(m_л + m_г)g = \rho_в g V_{погр}$

Сократив $\text{g}$ в обеих частях уравнения, получим:

$m_л + m_г = \rho_в V_{погр}$

Отсюда объем погруженной части льдины равен:

$V_{погр} = \frac{m_л + m_г}{\rho_в}$

Полный объем льдины $V_л$ связан с её массой $m_л$ и плотностью льда $\rho_л$ следующим соотношением:

$m_л = \rho_л V_л \implies V_л = \frac{m_л}{\rho_л}$

По условию задачи, льдина не погружается полностью. Это означает, что объем её погруженной части строго меньше её полного объема:

$V_{погр} < V_л$

Подставим в это неравенство выражения для $V_{погр}$ и $V_л$:

$\frac{m_л + m_г}{\rho_в} < \frac{m_л}{\rho_л}$

Решим это неравенство относительно $m_л$:

$(m_л + m_г)\rho_л < m_л \rho_в$

$m_л \rho_л + m_г \rho_л < m_л \rho_в$

$m_г \rho_л < m_л \rho_в - m_л \rho_л$

$m_г \rho_л < m_л (\rho_в - \rho_л)$

Так как плотность воды больше плотности льда ($\rho_в > \rho_л$), разность $(\rho_в - \rho_л)$ положительна. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на эту разность, не меняя знака неравенства:

$m_л > \frac{m_г \rho_л}{\rho_в - \rho_л}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_л > \frac{60 \text{ кг} \cdot 900 \text{ кг/м³}}{1000 \text{ кг/м³} - 900 \text{ кг/м³}}$

$m_л > \frac{54000}{100} \text{ кг}$

$m_л > 540 \text{ кг}$

Таким образом, чтобы льдина с грузом не погрузилась полностью, её масса должна быть больше 540 кг.

Ответ: Масса плоской льдины может быть равна любому значению, строго большему 540 кг ($m_л > 540$ кг).