Номер 3, страница 62 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 10. Равномерное движение по окружности. Угловая скорость. Период и частота вращения. Вопросы - номер 3, страница 62.

Условие.

3. Какими способами можно описать движение точечного тела по окружности?

Решение.

Движение точечного тела по окружности можно описать несколькими способами, каждый из которых удобен в определённых ситуациях. Основные из них — координатный, естественный и с помощью угловых величин.

1. Координатный способ

Этот способ основан на использовании системы координат. Обычно выбирают декартову систему координат (Oxy) с началом в центре окружности. Положение тела в любой момент времени $\text{t}$ определяется его радиус-вектором $\vec{r}(t)$ или его координатами $x(t)$ и $y(t)$. Если $\text{R}$ — радиус окружности, а $\phi(t)$ — угол поворота радиус-вектора в момент времени $\text{t}$ (угловая координата), то координаты тела определяются уравнениями:

$x(t) = R \cos(\phi(t))$

$y(t) = R \sin(\phi(t))$

Закон движения в векторной форме выглядит так: $\vec{r}(t) = R \cos(\phi(t)) \cdot \vec{i} + R \sin(\phi(t)) \cdot \vec{j}$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — единичные векторы осей Ox и Oy. Для равномерного движения по окружности с постоянной угловой скоростью $\omega$, закон движения принимает вид: $\phi(t) = \phi_0 + \omega t$. Тогда уравнения движения:

$x(t) = R \cos(\phi_0 + \omega t)$

$y(t) = R \sin(\phi_0 + \omega t)$

Скорость и ускорение находятся дифференцированием радиус-вектора по времени. Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к окружности, а вектор ускорения $\vec{a}$ при равномерном движении направлен к центру окружности (центростремительное ускорение).

Ответ: Движение можно описать, задав зависимость координат тела от времени $x(t)$ и $y(t)$ в системе координат, связанной с центром окружности.

2. Естественный способ

При этом способе положение тела на траектории (окружности) задаётся длиной дуги $\text{s}$, отсчитываемой от некоторой начальной точки. Закон движения — это зависимость $s(t)$. Длина дуги связана с углом поворота $\phi$ (в радианах) соотношением $s = R \cdot \phi$. Скорость тела $\vec{v}$ всегда направлена по касательной к траектории. Её модуль (линейная скорость) равен $v = \frac{ds}{dt}$. Ускорение $\vec{a}$ раскладывается на две составляющие: тангенциальное (касательное) ускорение $\vec{a}_{\tau}$, направленное по касательной и характеризующее изменение модуля скорости ($a_{\tau} = \frac{dv}{dt}$), и нормальное (центростремительное) ускорение $\vec{a}_n$, направленное к центру окружности и характеризующее изменение направления скорости ($a_n = \frac{v^2}{R}$). При равномерном движении $a_{\tau}=0$. Полное ускорение является векторной суммой этих двух компонент: $\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n$.

Ответ: Движение можно описать, задав зависимость пройденного по дуге окружности пути $\text{s}$ от времени, а также используя тангенциальную и нормальную составляющие ускорения.

3. Описание с помощью угловых величин

Этот способ является наиболее удобным для описания вращательного движения. Движение характеризуется кинематическими уравнениями для угловых величин: углового перемещения $\Delta \phi$ (угол, на который поворачивается радиус-вектор тела), угловой скорости $\omega$ (быстрота изменения угла поворота, $\omega = \frac{d\phi}{dt}$) и углового ускорения $\varepsilon$ (быстрота изменения угловой скорости, $\varepsilon = \frac{d\omega}{dt}$).

Линейные и угловые величины связаны следующими соотношениями:

Линейная скорость: $v = \omega R$

Тангенциальное ускорение: $a_{\tau} = \varepsilon R$

Нормальное ускорение: $a_n = \omega^2 R = \frac{v^2}{R}$

Закон движения записывается как зависимость $\phi(t)$. Например, для равноускоренного движения по окружности ($\varepsilon = \text{const}$): $\phi(t) = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2}$.

Ответ: Движение можно описать, задав зависимость угла поворота $\phi$ от времени, а также используя понятия угловой скорости $\omega$ и углового ускорения $\varepsilon$.

4. Описание с помощью периода и частоты

Для равномерного движения по окружности часто используют такие характеристики, как период и частота. Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое тело совершает один полный оборот ($T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$, измеряется в секундах). Частота обращения $\nu$ (или $\text{f}$) — это число оборотов, совершаемых телом за единицу времени ($\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$, измеряется в герцах). Эти величины полностью характеризуют равномерное движение по окружности заданного радиуса.

Ответ: Равномерное движение по окружности можно описать с помощью периода $\text{T}$ (времени одного оборота) и частоты $\nu$ (числа оборотов в секунду).