Номер 3, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Упражнения - номер 3, страница 54.

Условие.

*3. Камень бросили с горизонтальной площадки с начальной скоростью $\vec{v_0}$ под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Определите время полёта камня и расстояние $\text{L}$ по горизонтали от точки его бросания до места падения на площадку, если модуль его начальной скорости равен $20 \text{ м/с}$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с

Угол броска к горизонту, $\alpha = 30^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$ (примем стандартное значение)

Найти:

Время полёта, $\text{t}$ - ?

Расстояние по горизонтали, $\text{L}$ - ?

Решение:

Движение камня представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Его можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное по вертикальной оси (Oy).

Выберем систему координат с началом в точке бросания, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy — вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнения, описывающие координаты камня в зависимости от времени $\text{t}$:

По оси Ox: $x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

По оси Oy: $y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Время полёта камня

Поскольку камень брошен с горизонтальной площадки и падает на неё же, его полёт заканчивается, когда его вертикальная координата $\text{y}$ снова становится равной нулю. Приравняем уравнение для $y(t)$ к нулю, чтобы найти полное время полёта $t_{пол}$.

$y(t_{пол}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t_{пол} - \frac{g t_{пол}^2}{2} = 0$

Вынесем $t_{пол}$ за скобки:

$t_{пол} \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{пол}}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ (начальный момент времени) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{пол}}{2} = 0$. Второй корень соответствует моменту падения.

Выразим время полёта $t_{пол}$ из второго уравнения:

$t_{пол} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_{пол} = \frac{2 \cdot 20 \, \text{м/с} \cdot \sin(30^\circ)}{10 \, \text{м/с}^2} = \frac{40 \cdot 0.5}{10} \, \text{с} = \frac{20}{10} \, \text{с} = 2 \, \text{с}$

Ответ: Время полёта камня составляет 2 с.

Расстояние L по горизонтали

Расстояние $\text{L}$ (дальность полёта) — это горизонтальное смещение камня за время полёта $t_{пол}$. Для его расчёта используем уравнение для координаты $x(t)$ при $t = t_{пол}$.

$L = x(t_{пол}) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t_{пол}$

Подставим известные значения, включая найденное время полёта:

$L = 20 \, \text{м/с} \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2 \, \text{с} = 40 \cdot \cos(30^\circ) \, \text{м}$

Используя значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получим:

$L = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{м} = 20\sqrt{3} \, \text{м}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$L \approx 20 \cdot 1.732 \, \text{м} \approx 34.64 \, \text{м}$

Ответ: Расстояние L по горизонтали от точки бросания до места падения равно $20\sqrt{3}$ м (приблизительно 34.64 м).