Номер 6, страница 35 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Методы изучения механического движения и взаимодействия тел. Параграф 4. Методы решения задач на применение законов сохранения в механике. Задания и упражнения - номер 6, страница 35.

Условие.

6. Два металлических шара 1 и 2 покоятся на горизонтальной поверхности стола в инерциальной системе отсчёта (рис. 29). Между шарами расположена упругая пружина, которая удерживается нитью в сжатом состоянии. После пережигания нити пружина сообщает шарам скорости в горизонтальном направлении. После взаимодействия они описывают криволинейные траектории и падают на стол.

Используя закон сохранения импульса, получите формулу для определения массы $m_2$ второго шара: $m_2 = m_1 \cdot \frac{s_1}{s_2}$, где $s_1$ и $s_2$ — модули перемещений шаров 1 и 2.

Указание. Трением при движении пренебречь. Суммарный импульс системы до и после взаимодействия шаров равен нулю.

Рис. 29

Решение.

Дано:

$m_1$ — масса первого шара

$m_2$ — масса второго шара

$s_1$ — модуль перемещения первого шара в горизонтальном направлении

$s_2$ — модуль перемещения второго шара в горизонтальном направлении

$v_{01} = 0, v_{02} = 0$ — начальные скорости шаров

Трением пренебречь.

Найти:

Используя закон сохранения импульса, получить формулу для определения массы $m_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух шаров. До взаимодействия (пережигания нити) шары покоятся, поэтому их начальные скорости равны нулю, и суммарный импульс системы также равен нулю:

$\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_{01} + m_2\vec{v}_{02} = 0$

После пережигания нити сжатая пружина распрямляется и сообщает шарам скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ в горизонтальном направлении. Силы, действующие со стороны пружины, являются внутренними для системы "два шара". Внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры) скомпенсированы в вертикальном направлении. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, так как трением пренебрегается. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса.

Суммарный импульс системы после взаимодействия:

$\vec{p}_{после} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Согласно закону сохранения импульса $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$, получаем:

$0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Из этого векторного уравнения следует, что $m_1\vec{v}_1 = -m_2\vec{v}_2$. Это означает, что векторы скоростей шаров направлены в противоположные стороны, а их модули связаны соотношением:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (1)

После того как шары покидают стол, они движутся под действием силы тяжести. Их движение представляет собой движение тела, брошенного горизонтально. Время полета $\text{t}$ для обоих шаров будет одинаковым, так как они падают с одной и той же высоты $\text{h}$ с нулевой начальной вертикальной скоростью. Время полета определяется из уравнения для вертикального движения: $h = \frac{gt^2}{2}$, откуда $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.

В горизонтальном направлении шары движутся равномерно. Горизонтальное перемещение (дальность полета) для каждого шара равно:

$s_1 = v_1 t$

$s_2 = v_2 t$

Из этих уравнений выразим модули скоростей шаров через их перемещения и время полета:

$v_1 = \frac{s_1}{t}$

$v_2 = \frac{s_2}{t}$

Подставим полученные выражения для скоростей $v_1$ и $v_2$ в уравнение (1):

$m_1 \frac{s_1}{t} = m_2 \frac{s_2}{t}$

Время полета $\text{t}$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$m_1 s_1 = m_2 s_2$

Из этого равенства выражаем массу второго шара $m_2$:

$m_2 = m_1 \frac{s_1}{s_2}$

Таким образом, требуемая формула получена.

Ответ:

Начальный импульс системы из двух покоящихся шаров равен нулю. По закону сохранения импульса, после взаимодействия (расталкивания пружиной) суммарный импульс системы также остается равным нулю: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0$. В проекции на горизонтальную ось это дает $m_1 v_1 = m_2 v_2$. После падения со стола шары пролетают в горизонтальном направлении расстояния $s_1 = v_1 t$ и $s_2 = v_2 t$. Так как время падения $\text{t}$ для обоих шаров одинаково, отношение их скоростей равно отношению их перемещений: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{s_1}{s_2}$. Подставляя это в выражение $m_2 = m_1 \frac{v_1}{v_2}$ (следующее из закона сохранения импульса), получаем искомую формулу: $m_2 = m_1 \frac{s_1}{s_2}$.