Теоретическое исследование, страница 41 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 5. Периодические движения. Равномерное движение по окружности. Вопросы - страница 41.

Условие.

Теоретическое исследование

На рис. 32 изображена ременная передача, которая передаёт движение от шкива I к шкиву II. Покажите, что:

а) модули скоростей в точках A и B одинаковы: $v_A = v_B$;

б) отношение угловых скоростей точек B и A равно обратному отношению радиусов шкивов: $\frac{\omega_B}{\omega_A} = \frac{r_A}{r_B}.$

Рис. 32

Решение.

Решение

В основе работы ремённой передачи лежит предположение, что ремень не проскальзывает по поверхности шкивов и не растягивается. Это означает, что линейная скорость движения ремня $v_{ремня}$ одинакова во всех его точках и равна линейной скорости точек на ободе каждого шкива, с которыми ремень соприкасается.

а)

Точка А находится на ободе шкива I, и её линейная скорость $v_A$ равна скорости движения ремня. Точка В находится на ободе шкива II, и её линейная скорость $v_B$ также равна скорости движения ремня. Поскольку скорость ремня постоянна по всей его длине, линейные скорости точек А и В равны между собой.

$v_A = v_{ремня}$

$v_B = v_{ремня}$

Следовательно, $v_A = v_B$. Модули скоростей в точках А и В одинаковы, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как ремень движется как единое целое без проскальзывания, то скорости всех его точек одинаковы. Точки А и В на ободах шкивов соприкасаются с ремнем, поэтому их линейные скорости равны скорости ремня, а значит, равны и между собой: $v_A = v_B$.

б)

Линейная скорость $\text{v}$ точки, движущейся по окружности радиусом $\text{r}$, связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v = \omega \cdot r$. Обозначим радиусы шкивов I и II как $r_A$ и $r_B$, а их угловые скорости как $\omega_A$ и $\omega_B$ соответственно.

Тогда для точки А на шкиве I можно записать: $v_A = \omega_A \cdot r_A$.

А для точки B на шкиве II: $v_B = \omega_B \cdot r_B$.

Из пункта (а) мы знаем, что $v_A = v_B$. Приравняем правые части этих двух выражений:

$\omega_A \cdot r_A = \omega_B \cdot r_B$

Теперь выразим из этого равенства отношение угловых скоростей $\frac{\omega_B}{\omega_A}$. Для этого разделим обе части уравнения на произведение $\omega_A \cdot r_B$:

$\frac{\omega_A \cdot r_A}{\omega_A \cdot r_B} = \frac{\omega_B \cdot r_B}{\omega_A \cdot r_B}$

После сокращения получаем требуемое соотношение:

$\frac{r_A}{r_B} = \frac{\omega_B}{\omega_A}$

Таким образом, отношение угловых скоростей шкивов обратно пропорционально отношению их радиусов.

Ответ: Отношение угловых скоростей шкивов равно обратному отношению их радиусов, что доказывается выводом формулы $\frac{\omega_B}{\omega_A} = \frac{r_A}{r_B}$.