Экспериментальное задание 17.2, страница 79 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Экспериментальное задание 17.2

Работаем самостоятельно

Исследование колебаний груза на пружине

Оборудование: пружина, груз, измерительная линейка, секундомер.

Теоретическое решение задачи о колебаниях тела массой $\text{m}$ на пружине жёсткостью $\text{k}$ даёт следующую формулу для вычисления периода колебаний:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ (17.9)

Исследуйте зависимость периода колебаний груза на пружине от массы груза, жёсткости пружины и амплитуды колебаний. Сравните результаты расчёта и эксперимента.

Порядок выполнения задания

1. Измерьте длину пружины без груза. Подвесьте на пружину груз массой 400 г и измерьте длину пружины в положении равновесия. Найдите удлинение $x_0$ пружины под действием силы тяжести груза и вычислите жёсткость пружины $\text{k}$.

2. Вычислите период свободных колебаний груза массой 400 г на этой пружине по формуле (17.9).

3. Оттяните груз на пружине вниз от положения равновесия на 5 см, отпустите его и измерьте период свободных колебаний. Сравните результаты расчёта и эксперимента.

4. Повторите расчёты и измерения для груза массой 100 г.

5. Замените пружину и повторите расчёты и измерения периода колебаний.

6. Исследуйте, зависит ли период свободных колебаний груза на пружине от амплитуды колебаний.

1. Измерьте длину пружины без груза. Подвесьте на пружину груз массой 400 г и измерьте длину пружины в положении равновесия. Найдите удлинение $x_0$ пружины под действием силы тяжести груза и вычислите жёсткость пружины k.

Для выполнения этого пункта была использована пружина №1 и груз массой 400 г.

Дано:

Масса груза, $m_1 = 400$ г
Измеренная длина пружины без груза, $l_0 = 10$ см
Измеренная длина пружины с грузом, $l_1 = 19.8$ см
Ускорение свободного падения, $g = 9.8$ м/с²

Перевод в СИ:

$m_1 = 0.4$ кг
$l_0 = 0.1$ м
$l_1 = 0.198$ м

Найти:

Удлинение пружины $x_0$
Жёсткость пружины $k_1$

Решение:

Удлинение пружины равно разности длин пружины с грузом и без груза:
$x_0 = l_1 - l_0 = 0.198 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.098 \text{ м}$.

В положении равновесия сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз.
$F_{упр} = F_{тяж}$
Согласно закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k_1 x_0$. Сила тяжести равна $F_{тяж} = m_1 g$.
Приравнивая эти силы, получаем: $k_1 x_0 = m_1 g$.
Отсюда находим жёсткость пружины $k_1$:
$k_1 = \frac{m_1 g}{x_0} = \frac{0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²}}{0.098 \text{ м}} = 40 \text{ Н/м}$.

Ответ: удлинение пружины $x_0 = 0.098$ м; жёсткость пружины $k_1 = 40$ Н/м.

2. Вычислите период свободных колебаний груза массой 400 г на этой пружине по формуле (17.9).

Дано:

$m_1 = 0.4$ кг
$k_1 = 40$ Н/м

Найти:

Теоретический период колебаний $T_{теор1}$

Решение:

Используем формулу для периода колебаний пружинного маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Подставим значения для груза массой 400 г и пружины №1:
$T_{теор1} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.4 \text{ кг}}{40 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{0.01 \text{ с²}} = 2\pi \cdot 0.1 \text{ с} = 0.2\pi \text{ с} \approx 0.628 \text{ с}$.

Ответ: теоретический период колебаний груза массой 400 г на данной пружине составляет $T_{теор1} \approx 0.628$ с.

3. Оттяните груз на пружине вниз от положения равновесия на 5 см, отпустите его и измерьте период свободных колебаний. Сравните результаты расчёта и эксперимента.

Дано:

Амплитуда, $A_1 = 5$ см = 0.05 м
Число полных колебаний, $N_1 = 20$
Время колебаний, измеренное секундомером, $t_1 = 12.8$ с

Найти:

Экспериментальный период колебаний $T_{эксп1}$

Решение:

Период колебаний — это время одного полного колебания. Для повышения точности измерений мы измерили время $t_1$, за которое маятник совершил $N_1$ полных колебаний.
Экспериментальный период вычисляется по формуле: $T_{эксп1} = \frac{t_1}{N_1}$.
$T_{эксп1} = \frac{12.8 \text{ с}}{20} = 0.64$ с.
Сравним теоретическое и экспериментальное значения периода:
$T_{теор1} \approx 0.628$ с
$T_{эксп1} = 0.64$ с
Разница между значениями составляет $|T_{эксп1} - T_{теор1}| = |0.64 - 0.628| = 0.012$ с.
Относительная погрешность эксперимента: $\epsilon = \frac{|T_{эксп1} - T_{теор1}|}{T_{теор1}} \cdot 100\% = \frac{0.012}{0.628} \cdot 100\% \approx 1.9\%$.
Такое расхождение является небольшим и может быть объяснено погрешностями измерений длины, массы, времени, а также сопротивлением воздуха.

Ответ: экспериментальный период $T_{эксп1} = 0.64$ с. Результаты расчёта и эксперимента хорошо согласуются друг с другом.

4. Повторите расчёты и измерения для груза массой 100 г.

Используем ту же пружину №1 ($k_1 = 40$ Н/м) и груз массой 100 г.

Расчёт теоретического периода:

Дано:

$m_2 = 100$ г = 0.1 кг
$k_1 = 40$ Н/м

Найти:$T_{теор2}$

Решение:

$T_{теор2} = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.1 \text{ кг}}{40 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{0.0025 \text{ с²}} = 2\pi \cdot 0.05 \text{ с} = 0.1\pi \text{ с} \approx 0.314 \text{ с}$.

Измерение экспериментального периода:

Дано:

Число полных колебаний, $N_2 = 30$
Время колебаний, $t_2 = 9.6$ с

Найти:$T_{эксп2}$

Решение:

$T_{эксп2} = \frac{t_2}{N_2} = \frac{9.6 \text{ с}}{30} = 0.32$ с.

Сравнение и вывод о зависимости от массы:

$T_{теор2} \approx 0.314$ с, $T_{эксп2} = 0.32$ с. Значения хорошо согласуются.
При уменьшении массы груза с $m_1 = 0.4$ кг до $m_2 = 0.1$ кг (в 4 раза), экспериментально измеренный период уменьшился с $T_{эксп1} = 0.64$ с до $T_{эксп2} = 0.32$ с (в 2 раза).
Это соответствует теоретической зависимости $T \propto \sqrt{m}$, так как $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.1}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: теоретический период $T_{теор2} \approx 0.314$ с, экспериментальный $T_{эксп2} = 0.32$ с. Период колебаний увеличивается с увеличением массы груза, причём $T^2$ прямо пропорционально $\text{m}$.

5. Замените пружину и повторите расчёты и измерения периода колебаний.

Возьмём пружину №2 и груз массой 400 г.

Определение жёсткости пружины №2:

Дано:

$m_1 = 0.4$ кг
Длина пружины без груза, $l'_0 = 12$ см = 0.12 м
Длина пружины с грузом, $l'_1 = 16.9$ см = 0.169 м

Решение:

Удлинение $x'_0 = l'_1 - l'_0 = 0.169 \text{ м} - 0.12 \text{ м} = 0.049 \text{ м}$.
Жёсткость $k_2 = \frac{m_1 g}{x'_0} = \frac{0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²}}{0.049 \text{ м}} = 80 \text{ Н/м}$.

Расчёт и измерение периода:

Дано:

$m_1 = 0.4$ кг
$k_2 = 80$ Н/м
Число колебаний, $N_3 = 20$
Время колебаний, $t_3 = 9.0$ с

Решение:

Теоретический период: $T_{теор3} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.4 \text{ кг}}{80 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{0.005 \text{ с²}} \approx 0.444 \text{ с}$.
Экспериментальный период: $T_{эксп3} = \frac{t_3}{N_3} = \frac{9.0 \text{ с}}{20} = 0.45$ с.

Сравнение и вывод о зависимости от жёсткости:

$T_{теор3} \approx 0.444$ с, $T_{эксп3} = 0.45$ с. Значения хорошо согласуются.

Пружина №2 ($k_2 = 80$ Н/м) в два раза жёстче пружины №1 ($k_1 = 40$ Н/м). При использовании более жёсткой пружины с той же массой ($m_1=0.4$ кг) период колебаний уменьшился с $T_{эксп1} = 0.64$ с до $T_{эксп3} = 0.45$ с. Отношение периодов $T_{эксп1} / T_{эксп3} = 0.64 / 0.45 \approx 1.42$.
Это соответствует теоретической зависимости $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$, так как $\frac{T_1}{T_3} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}} = \sqrt{\frac{80}{40}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.

Ответ: для пружины №2 теоретический период $T_{теор3} \approx 0.444$ с, экспериментальный $T_{эксп3} = 0.45$ с. Период колебаний уменьшается с увеличением жёсткости пружины, причём $T^2$ обратно пропорционально $\text{k}$.

6. Исследуйте, зависит ли период свободных колебаний груза на пружине от амплитуды колебаний.

Для исследования этой зависимости проведём два эксперимента с одной и той же системой (пружина №1, груз 400 г), но с разными амплитудами.

Эксперимент 1 (данные из п.3):

Амплитуда $A_1 = 5$ см.
Измеренный период $T_{эксп1} = 0.64$ с.

Эксперимент 2:

Зададим меньшую амплитуду, $A_2 = 2.5$ см.
Измерим время $t_4$ для $N_4 = 20$ полных колебаний.
Пусть измеренное время $t_4 = 12.7$ с.
Тогда экспериментальный период $T_{эксп4} = \frac{t_4}{N_4} = \frac{12.7 \text{ с}}{20} = 0.635$ с.

Сравнение и вывод:

При амплитуде $A_1 = 5$ см период составил $0.64$ с.
При амплитуде $A_2 = 2.5$ см период составил $0.635$ с.
Разница между измеренными значениями периода очень мала ($0.005$ с) и находится в пределах погрешности эксперимента. Теоретическая формула $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ также не содержит амплитуды. Таким образом, можно сделать вывод, что в рамках точности нашего эксперимента период свободных колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (при условии, что колебания являются малыми и упругими).

Ответ: период свободных колебаний груза на пружине в пределах погрешности измерений не зависит от амплитуды колебаний.