Номер 6.3, страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 6.3. Одному телу, находящемуся на большой высоте $\text{h}$ над землёй, сообщена скорость 6 м/с, направленная вертикально вверх, другому телу — скорость 4 м/с, направленная вертикально вниз. Через какое время расстояние между телами станет равным $l = 20 \text{ м}$? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная скорость первого тела $v_1 = 6$ м/с
Начальная скорость второго тела $v_2 = 4$ м/с
Конечное расстояние между телами $l = 20$ м
Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с начальной точкой движения тел. Направим ось координат OY вертикально вверх. Поскольку оба тела начинают движение из одной и той же точки (в один и тот же момент времени), их начальная координата равна нулю ($y_0 = 0$). На оба тела действует одинаковое ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вертикально вниз.

Запишем уравнение движения для первого тела, которое брошено вертикально вверх. Его начальная скорость $v_1$ направлена по оси OY: $y_1(t) = v_1t - \frac{gt^2}{2}$

Запишем уравнение движения для второго тела, которое брошено вертикально вниз. Его начальная скорость $v_2$ направлена против оси OY, поэтому ее проекция на ось OY будет отрицательной: $y_2(t) = -v_2t - \frac{gt^2}{2}$

Расстояние $\text{l}$ между телами в любой момент времени $\text{t}$ определяется как модуль разности их координат: $l = |y_1(t) - y_2(t)|$

Подставим в это выражение уравнения движения для каждого тела: $l = |(v_1t - \frac{gt^2}{2}) - (-v_2t - \frac{gt^2}{2})|$

Раскроем скобки внутри модуля. Обратите внимание, что слагаемые, содержащие ускорение свободного падения $\text{g}$, сокращаются, так как они одинаковы для обоих тел: $l = |v_1t - \frac{gt^2}{2} + v_2t + \frac{gt^2}{2}| = |v_1t + v_2t|$

Вынесем время $\text{t}$ за скобки: $l = |(v_1 + v_2)t|$

Поскольку время $\text{t}$ и модули скоростей $v_1$ и $v_2$ — величины неотрицательные, знак модуля можно убрать. Этот результат показывает, что расстояние между телами увеличивается с постоянной скоростью, равной сумме их начальных скоростей (скорость удаления). $l = (v_1 + v_2)t$

Теперь выразим искомое время $\text{t}$: $t = \frac{l}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $t = \frac{20 \text{ м}}{6 \text{ м/с} + 4 \text{ м/с}} = \frac{20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 2 \text{ с}$

Ответ: расстояние между телами станет равным 20 м через 2 с.