Номер 6.1, страница 29 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 6.1. Два гребца хотят переправиться на другой берег реки как можно быстрее. Один решает плыть по воде перпендикулярно вектору скорости течения воды, и траекторией его движения оказалась прямая $AE$ (рис. 6.6). Другой выбрал такое направление вектора скорости относительно воды, что его лодка двигалась по самой короткой траектории $AD$. Какой из гребцов быстрее достиг противоположного берега? Сколько времени затратил каждый из гребцов на переправу? Скорости лодок относительно воды одинаковы и равны 5 км/ч, скорость течения воды в реке 3 км/ч, ширина реки 400 м.

Дано:

Скорость лодки относительно воды $v_{л} = 5$ км/ч

Скорость течения воды $v_{т} = 3$ км/ч

Ширина реки $L = 400$ м

Перевод всех данных в систему СИ:

$v_{л} = 5 \text{ км/ч} = 5 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{18} \text{ м/с} \approx 1,39 \text{ м/с}$

$v_{т} = 3 \text{ км/ч} = 3 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{6} \text{ м/с} \approx 0,83 \text{ м/с}$

$L = 400 \text{ м}$

Найти:

$t_1$ — время переправы первого гребца;

$t_2$ — время переправы второго гребца.

Сравнить $t_1$ и $t_2$.

Решение:

Введем систему координат, связанную с берегом. Ось OY направим перпендикулярно берегу, от начальной точки A к точке D на противоположном берегу. Ось OX направим вдоль берега по течению реки. Скорость лодки относительно берега ($\vec{v}_{абс}$) является векторной суммой скорости лодки относительно воды ($\vec{v}_{л}$) и скорости течения воды ($\vec{v}_{т}$):

$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{л} + \vec{v}_{т}$

1. Движение первого гребца (траектория AE)

Первый гребец направляет лодку перпендикулярно течению. Это означает, что вектор скорости лодки относительно воды $\vec{v}_{л1}$ направлен вдоль оси OY. Его компоненты: $\vec{v}_{л1} = (0, v_{л})$. Вектор скорости течения имеет компоненты $\vec{v}_{т} = (v_{т}, 0)$.

Скорость лодки относительно берега (абсолютная скорость) $\vec{v}_{абс1}$ находится как сумма векторов:

$\vec{v}_{абс1} = \vec{v}_{л1} + \vec{v}_{т} = (v_{т}, v_{л})$

Время переправы $t_1$ определяется шириной реки $\text{L}$ и перпендикулярной берегу составляющей абсолютной скорости, которая в данном случае равна $v_{л}$.

$t_1 = \frac{L}{v_{л}}$

Для удобства расчетов переведем ширину реки в километры: $L = 400 \text{ м} = 0,4 \text{ км}$.

$t_1 = \frac{0,4 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 0,08 \text{ ч}$

Переведем время в секунды:

$t_1 = 0,08 \text{ ч} \cdot 3600 \text{ с/ч} = 288 \text{ с}$

Это соответствует 4 минутам 48 секундам. Такая стратегия позволяет пересечь реку за минимально возможное время.

2. Движение второго гребца (траектория AD)

Второй гребец пересекает реку по кратчайшему пути, т.е. его траектория AD перпендикулярна берегам. Это означает, что вектор его абсолютной скорости $\vec{v}_{абс2}$ направлен строго по оси OY и имеет компоненты $\vec{v}_{абс2} = (0, v_{абс2,y})$.

Из основного уравнения $\vec{v}_{абс2} = \vec{v}_{л2} + \vec{v}_{т}$ в проекциях на оси координат получаем:

Ось OX: $0 = v_{л2,x} + v_{т} \implies v_{л2,x} = -v_{т}$

Ось OY: $v_{абс2,y} = v_{л2,y}$

Отрицательное значение $v_{л2,x}$ означает, что для компенсации сноса гребец должен направлять нос лодки против течения. Модуль скорости лодки относительно воды $v_{л}$ связан с компонентами по теореме Пифагора:

$v_{л}^2 = v_{л2,x}^2 + v_{л2,y}^2$

$v_{л2,y} = \sqrt{v_{л}^2 - v_{л2,x}^2} = \sqrt{v_{л}^2 - v_{т}^2}$

Скорость $v_{л2,y}$ — это и есть скорость, с которой лодка пересекает реку, т.е. $v_{абс2,y} = v_{л2,y}$. Вычислим ее:

$v_{абс2,y} = \sqrt{(5 \text{ км/ч})^2 - (3 \text{ км/ч})^2} = \sqrt{25 - 9} \text{ км/ч} = \sqrt{16} \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$

Время переправы второго гребца:

$t_2 = \frac{L}{v_{абс2,y}} = \frac{0,4 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 0,1 \text{ ч}$

Переведем время в секунды:

$t_2 = 0,1 \text{ ч} \cdot 3600 \text{ с/ч} = 360 \text{ с}$

Это соответствует 6 минутам.

3. Сравнение

Сравнивая полученные значения времени:

$t_1 = 288 \text{ с}$

$t_2 = 360 \text{ с}$

Мы видим, что $t_1 < t_2$. Следовательно, первый гребец достигает противоположного берега быстрее.

Ответ: Первый гребец достигнет противоположного берега быстрее. Время, которое затратил на переправу первый гребец, составляет 288 секунд (4 минуты 48 секунд). Время, которое затратил второй гребец, составляет 360 секунд (6 минут).