Номер 14.1, страница 65 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 14.1. Человек прыгнул вверх. В результате взаимодействия с Землёй импульс человека изменился. По закону сохранения импульса ровно на столько же по модулю изменился импульс Земли. Равно ли при этом изменение кинетической энергии человека изменению кинетической энергии Земли? Докажите своё утверждение.

Нет, изменение кинетической энергии человека не равно изменению кинетической энергии Земли. Докажем это утверждение.

Дано:

$m_ч$ - масса человека

$M_З$ - масса Земли

$\Delta p_ч$ - изменение импульса человека

$\Delta p_З$ - изменение импульса Земли

По закону сохранения импульса, для системы "человек-Земля", изменение их импульсов равны по модулю и противоположны по направлению. По условию задачи:

$|\Delta p_ч| = |\Delta p_З| = \Delta p$

Найти:

Сравнить изменение кинетической энергии человека $\Delta E_{к,ч}$ и изменение кинетической энергии Земли $\Delta E_{к,З}$.

Решение:

Кинетическую энергию тела можно выразить через его импульс $\text{p}$ и массу $\text{m}$ по формуле:

$E_к = \frac{p^2}{2m}$

Будем считать, что до прыжка и человек, и Земля покоились в выбранной системе отсчета. Тогда их начальные кинетические энергии равны нулю. Изменение кинетической энергии будет равно ее конечному значению.

Изменение кинетической энергии человека:

$\Delta E_{к,ч} = \frac{(\Delta p_ч)^2}{2m_ч}$

Изменение кинетической энергии Земли:

$\Delta E_{к,З} = \frac{(\Delta p_З)^2}{2M_З}$

Используя условие о равенстве модулей изменений импульсов ($|\Delta p_ч| = |\Delta p_З| = \Delta p$), получаем:

$\Delta E_{к,ч} = \frac{(\Delta p)^2}{2m_ч}$

$\Delta E_{к,З} = \frac{(\Delta p)^2}{2M_З}$

Чтобы сравнить эти два значения, найдем их отношение:

$\frac{\Delta E_{к,ч}}{\Delta E_{к,З}} = \frac{\frac{(\Delta p)^2}{2m_ч}}{\frac{(\Delta p)^2}{2M_З}} = \frac{(\Delta p)^2}{2m_ч} \cdot \frac{2M_З}{(\Delta p)^2} = \frac{M_З}{m_ч}$

Масса Земли ($M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг) неизмеримо больше массы человека ($m_ч \approx 70$ кг). Поэтому их отношение будет очень большим числом:

$\frac{M_З}{m_ч} \gg 1$

Следовательно, и отношение изменений кинетических энергий много больше единицы:

$\frac{\Delta E_{к,ч}}{\Delta E_{к,З}} \gg 1$, что эквивалентно $\Delta E_{к,ч} \gg \Delta E_{к,З}$

Это доказывает, что изменение кинетической энергии человека во много раз превышает изменение кинетической энергии Земли.

Ответ:

Изменение кинетической энергии человека не равно изменению кинетической энергии Земли. При одинаковом по модулю изменении импульса, изменение кинетической энергии обратно пропорционально массе тела ($\Delta E_к = \frac{(\Delta p)^2}{2m}$). Поскольку масса человека во много раз меньше массы Земли, изменение его кинетической энергии будет во столько же раз больше, чем изменение кинетической энергии Земли.