Номер 5, страница 39 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-6. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 1 - номер 5, страница 39.

Условие.

5. Шарик массой $\text{m}$ движется со скоростью $\text{v}$ и сталкивается с таким же неподвижным шариком. Считая удар абсолютно упругим, определите скорости шариков после столкновения.

А. $v_1 = 0$; $v_2 = v$.

Б. $v_1 = 0$; $v_2 = 0$.

В. $v_1 = v$; $v_2 = v$.

Решение.

Дано:

Масса первого шарика: $m_1 = m$

Масса второго шарика: $m_2 = m$

Начальная скорость первого шарика: $v_1 = v$

Начальная скорость второго шарика: $v_2 = 0$

Столкновение абсолютно упругое.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Скорости шариков после столкновения: $u_1$ и $u_2$.

Решение:

При абсолютно упругом столкновении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Подставим известные значения. Так как массы шариков одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), а второй шарик покоился ($v_2 = 0$), получим:

$m v + m \cdot 0 = m u_1 + m u_2$

$m v = m(u_1 + u_2)$

Сократив на массу $\text{m}$, получаем первое уравнение:

$v = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{m v^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = \frac{m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2}$

$\frac{m v^2}{2} = \frac{m}{2} (u_1^2 + u_2^2)$

Сократив на $\frac{m}{2}$, получаем второе уравнение:

$v^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Теперь необходимо решить систему из уравнений (1) и (2) с неизвестными $u_1$ и $u_2$.

Из уравнения (1) выразим $u_1$: $u_1 = v - u_2$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$v^2 = (v - u_2)^2 + u_2^2$

Раскроем скобки:

$v^2 = v^2 - 2 v u_2 + u_2^2 + u_2^2$

Приведем подобные члены:

$0 = -2 v u_2 + 2 u_2^2$

$2 u_2 (u_2 - v) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

а) $u_2 = 0$. В этом случае, из уравнения (1) следует, что $u_1 = v - 0 = v$. Это решение описывает ситуацию, когда столкновения не произошло (первый шарик продолжает движение со скоростью $\text{v}$, а второй остается на месте). Это тривиальное решение.

б) $u_2 - v = 0$, откуда $u_2 = v$. В этом случае, из уравнения (1) следует, что $u_1 = v - v = 0$.

Это второе решение описывает результат столкновения: первый шарик, который двигался, останавливается, а второй шарик, который покоился, начинает двигаться с начальной скоростью первого шарика.

Таким образом, после столкновения скорость первого шарика $u_1=0$, а скорость второго шарика $u_2=v$. В обозначениях, предложенных в вариантах ответа, это $v_1=0$ и $v_2=v$.

Ответ: $v_1 = 0; v_2 = v$.