Страница 118 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

787. Если в опыте Резерфорда взять фольгу толщиной, в 2 раза большей, то будет ли изменяться число рассеянных $\alpha$-частиц под каким-либо определённым углом? Почему?

Дано:

Опыт Резерфорда по рассеянию α-частиц на фольге.
Начальная толщина фольги: $d_1$.
Конечная толщина фольги: $d_2 = 2d_1$.

Найти:

Как изменится число рассеянных α-частиц под определённым углом $ \theta $?

Решение:

Да, число рассеянных α-частиц под определённым углом изменится.

Почему?

Рассеяние α-частиц в опыте Резерфорда происходит в результате их электростатического (кулоновского) взаимодействия с положительно заряженными ядрами атомов, из которых состоит фольга. Каждое ядро выступает в роли рассеивающего центра.

Число α-частиц $N(\theta)$, рассеянных на некоторый определённый угол $\theta$, прямо пропорционально общему числу ядер-мишеней, находящихся на пути пучка частиц. В свою очередь, число ядер в объеме, пронизываемом пучком, прямо пропорционально толщине фольги $d$. Таким образом, можно записать следующую пропорциональность: $N(\theta) \propto d$

Эта зависимость справедлива при условии, что фольга является достаточно тонкой, и можно пренебречь вероятностью многократного рассеяния одной и той же α-частицы на разных ядрах.

Поскольку по условию задачи толщина фольги увеличивается в 2 раза ($d_2 = 2d_1$), то и количество атомных ядер на пути α-частиц также увеличивается в 2 раза. Это приводит к тому, что вероятность для α-частицы испытать рассеяние на заданный угол удваивается. Следовательно, общее число рассеянных на этот угол частиц также увеличится в 2 раза.

Отношение числа рассеянных частиц для новой ($N_2$) и старой ($N_1$) толщины фольги будет равно: $\frac{N_2(\theta)}{N_1(\theta)} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{2d_1}{d_1} = 2$

То есть, $N_2(\theta) = 2N_1(\theta)$.

Ответ: Да, число рассеянных под определённым углом α-частиц изменится. Оно увеличится в 2 раза, поскольку оно прямо пропорционально толщине фольги, а следовательно, и количеству рассеивающих центров (ядер) на пути α-частиц.

788. Влияет ли масса атомных ядер «мишени» — фольги в опыте Резерфорда на угол отклонения $\alpha$-частиц? Почему?

Влияет ли масса атомных ядер «мишени» — фольги в опыте Резерфорда на угол отклонения $ \alpha $-частиц?

Да, масса атомных ядер «мишени» влияет на угол отклонения $ \alpha $-частиц.

Почему?

Рассеяние $ \alpha $-частицы на ядре представляет собой упругое столкновение двух частиц, в ходе которого сохраняются и полная энергия, и полный импульс системы «$ \alpha $-частица + ядро». Отклонение происходит под действием силы кулоновского отталкивания.

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой ядро действует на $ \alpha $-частицу, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой $ \alpha $-частица действует на ядро. Однако, в соответствии со вторым законом Ньютона ($ a = F/m $), ускорения, которые получают частицы, обратно пропорциональны их массам.

Это означает, что ядро-мишень с массой $ M $ также получает ускорение и приходит в движение — происходит так называемая отдача ядра. Величина этой отдачи зависит от массы ядра: чем меньше масса ядра $ M $, тем большее ускорение оно получит и тем значительнее будет его смещение во время столкновения.

Когда ядро в результате отдачи «убегает» от налетающей $ \alpha $-частицы, среднее расстояние между ними в процессе взаимодействия увеличивается. Поскольку сила кулоновского отталкивания обратно пропорциональна квадрату расстояния ($ F \sim 1/r^2 $), увеличение расстояния приводит к ослаблению силы взаимодействия.

Более слабая сила, действующая на $ \alpha $-частицу, вызывает меньшее изменение её импульса и, следовательно, приводит к меньшему углу отклонения. Таким образом, при прочих равных условиях (одинаковой начальной энергии $ \alpha $-частицы и прицельном параметре), чем легче ядро-мишень, тем на меньший угол оно рассеет $ \alpha $-частицу.

В оригинальном опыте Резерфорда использовалась золотая фольга. Масса ядра золота ($ M_{Au} \approx 197 $ а.е.м.) почти в 50 раз больше массы $ \alpha $-частицы ($ m_\alpha \approx 4 $ а.е.м.), поэтому отдача ядра была очень мала, и для расчетов его можно было с высокой точностью считать неподвижным. Однако для более легких ядер этим эффектом пренебрегать нельзя.

Ответ: Да, влияет. Чем меньше масса ядра-мишени, тем больше отдача ядра при столкновении, что приводит к ослаблению среднего кулоновского взаимодействия и, как следствие, к уменьшению угла отклонения $ \alpha $-частицы.

789. Почему опыт Резерфорда проводился с золотой фольгой? Можно ли провести этот опыт с алюминием?

Почему опыт Резерфорда проводился с золотой фольгой?

Опыт Резерфорда по рассеянию альфа-частиц проводился с использованием золотой фольги по нескольким ключевым причинам, которые делали золото идеальным материалом для этого эксперимента.

Во-первых, высокая пластичность. Золото — чрезвычайно ковкий и пластичный металл. Из него можно изготовить очень тонкую фольгу, толщиной всего в несколько сотен атомных слоев (около 100 нм). Это было критически важно для эксперимента, так как тонкая мишень минимизировала вероятность того, что альфа-частица столкнется с несколькими ядрами на своем пути. Целью было изучение одиночных актов рассеяния, и тонкая фольга обеспечивала это условие.

Во-вторых, тяжелое ядро. Атом золота (Au) имеет большое массовое число ($A \approx 197$) и большой зарядовый номер ($Z = 79$). Это важно по двум аспектам. Первый аспект — большой заряд ядра. Заряд ядра золота равен $q_{Au} = +79e$, где $e$ — элементарный заряд. Альфа-частица имеет заряд $q_{\alpha} = +2e$. Сила кулоновского отталкивания между альфа-частицей и ядром описывается законом Кулона: $F = k \frac{q_{\alpha} q_{ядра}}{r^2} = k \frac{(2e)(Ze)}{r^2}$. Чем больше заряд ядра $Z$, тем сильнее эта сила. Сильное отталкивание от ядра золота приводило к заметному отклонению альфа-частиц и увеличивало вероятность редких событий рассеяния на большие углы ($>90^\circ$), что делало эффект более выраженным и легким для регистрации. Второй аспект — большая масса ядра. Ядро золота почти в 50 раз массивнее альфа-частицы ($m_{Au} \approx 197$ а.е.м., $m_{\alpha} \approx 4$ а.е.м.). Из-за такой большой разницы в массах ядро золота можно было считать практически неподвижным в процессе столкновения, и его отдачей можно было пренебречь, что значительно упрощало теоретический расчет траекторий.

В-третьих, химическая инертность. Золото является благородным металлом и не вступает в реакцию с кислородом воздуха. Это гарантировало, что фольга была из чистого золота, а не из его оксидов или других соединений, что обеспечивало чистоту эксперимента.

Ответ: Опыт Резерфорда проводился с золотой фольгой из-за её уникального сочетания свойств: высокой пластичности (позволяющей создать очень тонкую мишень), большого заряда и массы ядра (что усиливало эффект рассеяния и упрощало расчеты), а также химической инертности.

Можно ли провести этот опыт с алюминием?

Да, теоретически провести этот опыт с алюминиевой фольгой возможно, так как основной принцип — рассеяние альфа-частиц на положительно заряженных ядрах — будет соблюдаться. Однако результаты были бы менее убедительными и их было бы сложнее получить и интерпретировать.

Основное отличие заключается в свойствах алюминия по сравнению с золотом. Во-первых, алюминий менее пластичен, и изготовить из него такую же тонкую фольгу сложнее. Более толстая фольга увеличила бы долю многократных рассеяний, что "смазало" бы картину эксперимента.

Во-вторых, ядро алюминия (Al) значительно легче и имеет меньший заряд ($Z = 13$, $A \approx 27$), чем ядро золота. Меньший заряд ядра ($+13e$ у Al против $+79e$ у Au) приводит к более слабой силе отталкивания. Поскольку интенсивность рассеяния на определенный угол пропорциональна квадрату заряда ядра ($Z^2$), количество альфа-частиц, рассеянных на большие углы, в случае с алюминием было бы примерно в $(79/13)^2 \approx 37$ раз меньше, чем для золота. Обнаружить такие редкие события стало бы значительно труднее. Кроме того, меньшая масса ядра алюминия ($m_{Al} \approx 27$ а.е.м.) всего в ~7 раз превышает массу альфа-частицы ($m_{\alpha} \approx 4$ а.е.м.). При столкновении ядро алюминия получило бы заметный импульс отдачи, и его нельзя было бы считать неподвижным, что усложнило бы теоретическую модель.

Ответ: Да, опыт можно провести с алюминием, но он будет менее эффективным. Из-за меньшего заряда ядра алюминия рассеяние на большие углы будет значительно слабее и труднее для регистрации. Кроме того, из-за меньшей массы ядра алюминия усложнится теоретический анализ результатов, а из-за меньшей пластичности будет сложнее изготовить достаточно тонкую фольгу.

790. Как влияет заряд ядра атома «мишени» на угол отклонения $\alpha$-частиц? Почему?

Заряд ядра атома «мишени» напрямую влияет на угол отклонения α-частиц: чем больше заряд ядра, тем на больший угол отклоняются α-частицы при прочих равных условиях.

Почему?

Это явление объясняется силой электростатического (кулоновского) взаимодействия. α-частица представляет собой ядро атома гелия и имеет положительный заряд $q_α = +2e$, где $e$ — элементарный заряд. Ядро атома «мишени» также заряжено положительно, и его заряд равен $q_{яд} = +Ze$, где $Z$ — это атомный номер (порядковый номер) элемента в таблице Менделеева, равный числу протонов в ядре.

Согласно закону Кулона, сила отталкивания между α-частицей и ядром равна:

$F = k \frac{q_α \cdot q_{яд}}{r^2} = k \frac{(2e) \cdot (Ze)}{r^2} = k \frac{2Ze^2}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, а $r$ — расстояние между ядром и α-частицей.

Из этой формулы видно, что сила отталкивания $F$ прямо пропорциональна заряду ядра «мишени», то есть его атомному номеру $Z$. Когда α-частица пролетает вблизи ядра, эта сила изменяет ее траекторию. Чем больше сила отталкивания, тем сильнее изменяется импульс α-частицы и, соответственно, тем больше угол ее отклонения от первоначального направления движения. Таким образом, при использовании мишени из материала с большим атомным номером (например, золота, $Z=79$) α-частицы будут отклоняться на большие углы, чем при использовании мишени из материала с меньшим атомным номером (например, алюминия, $Z=13$).

Ответ: С увеличением заряда ядра атома «мишени» угол отклонения α-частиц увеличивается. Это происходит потому, что сила кулоновского отталкивания между положительно заряженной α-частицей и ядром прямо пропорциональна величине заряда ядра. Чем больше заряд, тем сильнее сила отталкивания и, следовательно, тем больше угол рассеяния α-частицы.

791. Ядро атома и электроны имеют разные знаки зарядов и, следовательно, притягиваются друг к другу. Почему же электроны не падают на ядра атомов?

Вопрос о том, почему электроны не падают на ядро атома, является одним из фундаментальных в физике и указывает на несостоятельность классических представлений при описании микромира. Противоречие разрешается в рамках квантовой механики.

С точки зрения классической электродинамики, электрон, движущийся по орбите вокруг ядра, испытывает центростремительное ускорение. Ускоренно движущийся заряд должен непрерывно излучать электромагнитные волны, теряя при этом энергию. Потеря энергии привела бы к тому, что электрон двигался бы по сужающейся спирали и очень быстро (за время порядка $10^{-11}$ с) упал бы на ядро. Однако атомы, как мы знаем, стабильны.

Квантовая механика объясняет это явление несколькими ключевыми принципами. Во-первых, электрон обладает волновыми свойствами. В атоме он ведёт себя не как точечная частица на орбите, а как волна, «размазанная» в пространстве вокруг ядра, образуя так называемое электронное облако, которое описывает вероятность его нахождения.

Во-вторых, энергия электрона в атоме квантуется. Это означает, что электрон может находиться только на определённых, дискретных энергетических уровнях. Он не может иметь произвольную энергию и, соответственно, не может терять её непрерывно, как предсказывала классическая теория.

В-третьих, существует основное состояние — самый низкий из возможных энергетических уровней. Находясь в этом состоянии, электрон обладает минимально возможной для него энергией. Поскольку не существует состояний с ещё меньшей энергией, электрон не может больше её излучать и, следовательно, не может приблизиться к ядру ещё больше и упасть на него.

Дополнительное объяснение дает принцип неопределённости Гейзенберга ($ \Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar/2 $). Он гласит, что невозможно одновременно точно знать и координату, и импульс частицы. Если бы электрон упал на ядро, его положение ($x$) стало бы очень точно известно. Это привело бы к огромной неопределённости в его импульсе ($p$), а следовательно, к очень большой кинетической энергии, которая не позволила бы ему удержаться в ядре. Таким образом, стабильное состояние атома является результатом баланса между силами притяжения и квантовыми эффектами.

Ответ: Электроны не падают на ядро атома, потому что их поведение подчиняется законам квантовой механики, а не классической. Согласно этим законам, электрон в атоме может находиться только на определённых дискретных энергетических уровнях и существует минимальный возможный уровень (основное состояние), ниже которого электрон опуститься не может, а значит, и не может упасть на ядро.

792. Установите соответствие между названиями постулатов Бора и их формулировками.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ПОСТУЛАТ БОРА

А) первый Б) второй

1) переходя из одного состояния в другое, атом излучает.(поглощает) половину разности энергий в начальном и конечном состояниях

2) переходя из одного состояния в другое, атом излучает (поглощает) квант энергии, равный разности энергий в начальном и конечном состояниях

3) атом может находиться только в одном из двух возможных состояний

4) атом может находиться только в одном из состояний с определённым значением энергии

Решение

Для решения этой задачи необходимо установить соответствие между постулатами Бора и их формулировками, основываясь на определениях этих постулатов.

А) первый

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит, что атомная система может длительное время находиться только в особых стационарных (квантовых) состояниях, каждому из которых соответствует определённое значение энергии. Находясь в стационарном состоянии, атом не излучает электромагнитных волн.
Среди предложенных вариантов этому постулату наиболее точно соответствует формулировка под номером 4: "атом может находиться только в одном из состояний с определённым значением энергии". Формулировка 3 неверна, так как у атома может быть множество стационарных состояний, а не только два.

Ответ: 4

Б) второй

Второй постулат Бора (правило частот) описывает условия излучения и поглощения энергии атомом. Он гласит, что при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией $E_n$ в другое стационарное состояние с меньшей энергией $E_m$, излучается квант электромагнитной энергии (фотон). Энергия фотона равна разности энергий стационарных состояний: $h\nu = E_n - E_m$. При переходе на более высокий энергетический уровень атом поглощает фотон с такой же энергией.
Этому постулату соответствует формулировка под номером 2: "переходя из одного состояния в другое, атом излучает (поглощает) квант энергии, равный разности энергий в начальном и конечном состояниях". Формулировка 1 неверна, так как в ней упоминается "половина разности энергий", что противоречит постулату.

Ответ: 2

793. Установите соответствие между физическими процессами в микромире и характеристиками этих процессов. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ПРОЦЕСС

А) изменение кинетической энергии атома в результате столкновения с другим атомом

Б) изменение энергии атома как системы из ядра и электронной оболочки в результате взаимодействия с другим атомом или частиц

В) испускание электромагнитного излучения возбуждённым атомом

Г) поглощение электромагнитного излучения атомом

ХАРАКТЕРИСТИКА

1) спектр возможных изменений энергии линейчатый

2) спектр возможных изменений энергии сплошной

3) спектр электромагнитного излучения линейчатый

4) спектр электромагнитного излучения сплошной

АБВГ

Решение

А) изменение кинетической энергии атома в результате столкновения с другим атомом

Кинетическая энергия движения атома как целого ($E_k = \frac{mv^2}{2}$) не является квантованной величиной. При упругом или неупругом столкновении двух атомов изменение их кинетической энергии может принимать любое значение в некотором непрерывном диапазоне, который зависит от начальных скоростей и параметров соударения. Следовательно, спектр возможных изменений кинетической энергии является сплошным.

Ответ: 2

Б) изменение энергии атома как системы из ядра и электронной оболочки в результате взаимодействия с другим атосом или частицей

Внутренняя энергия атома, связанная с состоянием его электронной оболочки, может принимать только определённые дискретные значения, называемые энергетическими уровнями. В результате взаимодействия (например, при столкновении) атом может перейти из одного стационарного состояния в другое. Поскольку энергетические уровни дискретны, то и изменение внутренней энергии атома может принимать только строго определённые, дискретные значения. Таким образом, спектр возможных изменений энергии атома является линейчатым.

Ответ: 1

В) испускание электромагнитного излучения возбуждённым атомом

Когда возбуждённый атом переходит из состояния с более высокой энергией $E_n$ в состояние с более низкой энергией $E_m$, он испускает фотон. Энергия этого фотона в точности равна разности энергий уровней: $h\nu = E_n - E_m$. Так как набор энергетических уровней атома дискретен, то и набор энергий (и, соответственно, частот) фотонов, которые он может испустить, тоже дискретен. В результате получается спектр, состоящий из отдельных ярких линий, то есть линейчатый спектр излучения.

Ответ: 3

Г) поглощение электромагнитного излучения атомом

Атом может поглотить фотон и перейти на более высокий энергетический уровень только в том случае, если энергия фотона в точности соответствует разности энергий между начальным и конечным состояниями: $h\nu = E_n - E_m$. Это означает, что атом способен поглощать излучение только определённых, дискретных частот. Если сквозь газ пропустить свет со сплошным спектром, то на выходе в спектре появятся тёмные линии на тех частотах, которые были поглощены атомами. Такой спектр поглощения является линейчатым.

Ответ: 3