Номер 1, страница 118 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 25. Период колебаний математического и пружинного маятников. Задание 24 - номер 1, страница 118.

Условие.

1_э. Исследуйте область применимости модели математического маятника. Для этого изменяйте длину нити маятника и размеры тела. Проверьте, зависит ли период колебаний от длины маятника, если тело имеет большие размеры, а длина нити мала.

Решение.

Область применимости модели математического маятника

Модель математического маятника является идеализированной физической моделью. Она представляет собой материальную точку (тело, размеры которого пренебрежимо малы), подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, колеблющуюся под действием силы тяжести. Период колебаний такого маятника при малых углах отклонения ($\alpha < 5^\circ$) определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Область применимости этой модели для реального маятника (тело на нити) ограничена следующими условиями:

1. Размеры колеблющегося тела должны быть значительно меньше длины нити ($r \ll l$). Это позволяет считать тело материальной точкой, а за длину маятника $\text{l}$ принимать расстояние от точки подвеса до центра масс тела.

2. Масса нити должна быть пренебрежимо мала по сравнению с массой тела ($m_{нити} \ll m_{тела}$). Это позволяет считать нить невесомой.

3. Нить должна быть практически нерастяжимой, то есть ее длина не должна изменяться в процессе колебаний.

4. Колебания должны происходить с малой амплитудой (угол отклонения от положения равновесия не должен превышать нескольких градусов). Это необходимо для того, чтобы можно было считать, что $\sin(\alpha) \approx \alpha$, что используется при выводе формулы периода.

5. Силы сопротивления среды (например, воздуха) и трения в точке подвеса должны быть пренебрежимо малы.

При нарушении хотя бы одного из этих условий модель математического маятника и соответствующая ей формула для периода колебаний становятся неточными или вовсе неприменимыми.

Ответ: Модель математического маятника применима для реального маятника при условии, что размеры тела малы по сравнению с длиной нити, масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, нить нерастяжима, а амплитуда колебаний мала.

Зависимость периода колебаний при больших размерах тела и малой длине нити

Если тело имеет большие размеры, а длина нити мала, то условие применимости модели математического маятника ($r \ll l$) нарушается. Такую систему следует рассматривать как физический маятник – твёрдое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через его центр масс.

Период колебаний физического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ – момент инерции тела относительно оси вращения (точки подвеса), $\text{m}$ – масса тела, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, а $\text{d}$ – расстояние от оси вращения (точки подвеса) до центра масс тела.

В данном случае расстояние $\text{d}$ будет равно сумме длины нити $l_{нити}$ и расстояния от точки крепления нити к телу до его центра масс. Момент инерции $\text{I}$ зависит не только от массы, но и от формы и размеров тела, а также от расположения оси вращения (согласно теореме Штейнера $I = I_c + md^2$, где $I_c$ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс).

Из формулы видно, что период колебаний зависит от длины нити (поскольку она входит в величину $\text{d}$ и, следовательно, в $\text{I}$), но эта зависимость гораздо сложнее, чем для математического маятника. Период также существенно зависит от размеров и формы тела (через $I_c$). Простая пропорциональность $T \propto \sqrt{l}$ здесь не выполняется. Следовательно, период колебаний зависит от длины нити, но эта зависимость не описывается формулой для математического маятника.

Ответ: Да, период колебаний зависит от длины нити маятника, даже если тело имеет большие размеры, а длина нити мала. Однако эта зависимость не является простой, как в модели математического маятника ($T \propto \sqrt{l}$), а описывается более сложной формулой для физического маятника, в которой период также существенно зависит от размеров, формы и распределения массы колеблющегося тела.