Лабораторная работа № 3, страница 118 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 25. Период колебаний математического и пружинного маятников. Задание 24 - страница 118.

Условие.

Лабораторная работа № 3*

Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Цель работы:

научиться измерять ускорение свободного падения, используя формулу периода колебаний математического маятника.

Приборы и материалы:

штатив, шарик с прикреплённой к нему нитью, измерительная лента, секундомер (или часы с секундной стрелкой).

Порядок выполнения работы

1. Подвесьте к штативу шарик на нити длиной 30 см.

2. Измерьте время 10 полных колебаний маятника и вычислите период колебаний. Результаты измерений и вычисления с учётом погрешности измерений занесите в таблицу 8. Считайте, что погрешность измерения длины равна цене деления измерительной ленты, а погрешность измерения времени — цене деления секундомера.

3. Из формулы периода колебаний математического маятника

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ получите выражение для вычисления ускорения свободного падения. Вычислите ускорение свободного падения.

4. Повторите измерения, изменив длину нити маятника.

5. Вычислите относительную и абсолютную погрешности измерения ускорения свободного падения для каждого случая по формулам:

$\delta g = \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{2\Delta T}{T}; \Delta g = g \cdot \delta g.$

6. Запишите значение ускорения свободного падения в таблицу 8 с учётом погрешности измерений.

Таблица 8

№ опыта | $l \pm \Delta l$, м | n | $t \pm \Delta t$, с | $T \pm \Delta T$, с | $\text{g}$, м/с$^2$ | $\Delta g$, м/с$^2$ | $g \pm \Delta g$, м/с$^2$

1 | | 10 | | | | |

2 | | 10 | | | | |

7. Сделайте вывод.

Решение.

Из формулы периода колебаний математического маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ получите выражение для вычисления ускорения свободного падения. Вычислите ускорение свободного падения.

Для того чтобы выразить ускорение свободного падения $\text{g}$ из формулы периода $\text{T}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

Теперь выразим $\text{g}$:

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Период колебаний $\text{T}$ вычисляется как время $\text{t}$, затраченное на $\text{n}$ полных колебаний, деленное на число этих колебаний:

$T = \frac{t}{n}$

Подставив это выражение в формулу для $\text{g}$, получим окончательную расчетную формулу:

$g = \frac{4\pi^2 l}{(t/n)^2} = \frac{4\pi^2 l n^2}{t^2}$

Далее приведены расчеты для двух опытов с разной длиной нити.

Опыт 1

Дано:

$l_1 = 30 \text{ см}$
$\Delta l_1 = 1 \text{ мм}$ (погрешность измерения длины, равная цене деления измерительной ленты)
$n = 10$
$t_1 = 11.1 \text{ с}$ (гипотетическое измеренное время)
$\Delta t_1 = 0.1 \text{ с}$ (погрешность измерения времени, равная цене деления секундомера)

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.3 \text{ м}$
$\Delta l_1 = 0.001 \text{ м}$

Найти:

$T_1, \Delta T_1, g_1, \Delta g_1, g_1 \pm \Delta g_1$

Решение:

1. Вычислим период колебаний $T_1$:

$T_1 = \frac{t_1}{n} = \frac{11.1 \text{ с}}{10} = 1.11 \text{ с}$

2. Вычислим абсолютную погрешность измерения периода $\Delta T_1$:

$\Delta T_1 = \frac{\Delta t_1}{n} = \frac{0.1 \text{ с}}{10} = 0.01 \text{ с}$

3. Вычислим ускорение свободного падения $g_1$:

$g_1 = \frac{4\pi^2 l_1}{T_1^2} = \frac{4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 0.3 \text{ м}}{(1.11 \text{ с})^2} \approx \frac{11.8435}{1.2321} \approx 9.612 \text{ м/с}^2$

4. Вычислим относительную погрешность измерения $g_1$ по формуле $\delta g = \frac{\Delta l}{l} + \frac{2\Delta T}{T}$:

$\delta g_1 = \frac{\Delta l_1}{l_1} + \frac{2\Delta T_1}{T_1} = \frac{0.001}{0.3} + \frac{2 \cdot 0.01}{1.11} \approx 0.0033 + 0.0180 \approx 0.0213$

5. Вычислим абсолютную погрешность измерения $g_1$ по формуле $\Delta g = g \cdot \delta g$:

$\Delta g_1 = g_1 \cdot \delta g_1 \approx 9.612 \cdot 0.0213 \approx 0.205 \text{ м/с}^2$

Округлим абсолютную погрешность до одной значащей цифры: $\Delta g_1 \approx 0.2 \text{ м/с}^2$.

6. Округлим измеренное значение $g_1$ до того же десятичного разряда, что и погрешность (до десятых): $g_1 \approx 9.6 \text{ м/с}^2$.

7. Запишем окончательный результат:

$g_1 = (9.6 \pm 0.2) \text{ м/с}^2$

Ответ: $g_1 = (9.6 \pm 0.2) \text{ м/с}^2$

Опыт 2

Дано:

$l_2 = 60 \text{ см}$
$\Delta l_2 = 1 \text{ мм}$
$n = 10$
$t_2 = 15.6 \text{ с}$ (гипотетическое измеренное время)
$\Delta t_2 = 0.1 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$l_2 = 0.6 \text{ м}$
$\Delta l_2 = 0.001 \text{ м}$

Найти:

$T_2, \Delta T_2, g_2, \Delta g_2, g_2 \pm \Delta g_2$

Решение:

1. Вычислим период колебаний $T_2$:

$T_2 = \frac{t_2}{n} = \frac{15.6 \text{ с}}{10} = 1.56 \text{ с}$

2. Вычислим абсолютную погрешность измерения периода $\Delta T_2$:

$\Delta T_2 = \frac{\Delta t_2}{n} = \frac{0.1 \text{ с}}{10} = 0.01 \text{ с}$

3. Вычислим ускорение свободного падения $g_2$:

$g_2 = \frac{4\pi^2 l_2}{T_2^2} = \frac{4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 0.6 \text{ м}}{(1.56 \text{ с})^2} \approx \frac{23.687}{2.4336} \approx 9.733 \text{ м/с}^2$

4. Вычислим относительную погрешность измерения $g_2$:

$\delta g_2 = \frac{\Delta l_2}{l_2} + \frac{2\Delta T_2}{T_2} = \frac{0.001}{0.6} + \frac{2 \cdot 0.01}{1.56} \approx 0.0017 + 0.0128 \approx 0.0145$

5. Вычислим абсолютную погрешность измерения $g_2$:

$\Delta g_2 = g_2 \cdot \delta g_2 \approx 9.733 \cdot 0.0145 \approx 0.141 \text{ м/с}^2$

Округлим абсолютную погрешность до одной значащей цифры: $\Delta g_2 \approx 0.1 \text{ м/с}^2$.

6. Округлим измеренное значение $g_2$ до того же десятичного разряда, что и погрешность (до десятых): $g_2 \approx 9.7 \text{ м/с}^2$.

7. Запишем окончательный результат:

$g_2 = (9.7 \pm 0.1) \text{ м/с}^2$

Ответ: $g_2 = (9.7 \pm 0.1) \text{ м/с}^2$

6. Запишите значение ускорения свободного падения в таблицу 8 с учётом погрешности измерений.

№ опыта	$l \pm \Delta l$, м	n	$t \pm \Delta t$, с	$T \pm \Delta T$, с	$\text{g}$, м/с²	$\Delta g$, м/с²	$g \pm \Delta g$, м/с²
1	$0.300 \pm 0.001$	10	$11.1 \pm 0.1$	$1.11 \pm 0.01$	9.6	0.2	$9.6 \pm 0.2$
2	$0.600 \pm 0.001$	10	$15.6 \pm 0.1$	$1.56 \pm 0.01$	9.7	0.1	$9.7 \pm 0.1$

7. Сделайте вывод.

В ходе лабораторной работы было проведено измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Было выполнено два опыта с различной длиной нити маятника: $l_1 = 30$ см и $l_2 = 60$ см.

В результате вычислений были получены следующие значения для ускорения свободного падения:

• Для $l_1 = 0.3$ м: $g_1 = (9.6 \pm 0.2) \text{ м/с}^2$.
• Для $l_2 = 0.6$ м: $g_2 = (9.7 \pm 0.1) \text{ м/с}^2$.

Оба полученных результата близки к общепринятому (табличному) значению ускорения свободного падения $g_{табл} \approx 9.81 \text{ м/с}^2$. Табличное значение входит в доверительный интервал для первого опыта $[9.4; 9.8]$ с погрешностью, но немного выходит за рамки интервала для второго опыта $[9.6; 9.8]$. Расхождения можно объяснить наличием неучтенных систематических и случайных погрешностей, таких как сопротивление воздуха, неточность определения момента остановки секундомера, а также тем, что реальный маятник не является идеальной математической моделью (нить имеет массу, шарик имеет размеры).

Сравнение результатов двух опытов показывает, что увеличение длины маятника привело к уменьшению относительной погрешности (с 2.1% до 1.5%) и, соответственно, абсолютной погрешности измерения $\text{g}$. Это связано с тем, что при большей длине нити период колебаний увеличивается, и относительная погрешность его измерения уменьшается. Таким образом, для повышения точности измерений ускорения свободного падения данным методом целесообразно использовать маятник с большей длиной нити и увеличивать число измеряемых колебаний.

Ответ: Цель работы – научиться измерять ускорение свободного падения с помощью математического маятника – была достигнута. Полученные экспериментальные значения $g = (9.6 \pm 0.2) \text{ м/с}^2$ и $g = (9.7 \pm 0.1) \text{ м/с}^2$ согласуются с табличным значением в пределах погрешности измерений.