Лабораторная работа № 2, страница 117 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 25. Период колебаний математического и пружинного маятников. Задание 23 - страница 117.

Условие.

Лабораторная работа № 2

Изучение колебаний математического и пружинного маятников

Цель работы:

исследовать, от каких величин зависит, а от каких не зависит период колебаний математического и пружинного маятников.

Приборы и материалы:

штатив, 3 груза разной массы (шарик, груз массой 100 г, гирька), нить длиной 60 см, 2 пружины разной жёсткости, измерительная лента, секундомер (или часы с секундной стрелкой), полосовой магнит.

Порядок выполнения работы

1. Изготовьте маятник, прикрепив к нити груз, и подвесьте его к штативу. Наблюдайте его колебания.

2. Исследуйте зависимость периода колебаний математического маятника от длины нити. Для этого определите время 20 полных колебаний маятников длиной 25 и 49 см. Вычислите период колебаний в каждом случае. Результаты измерений и вычислений с учётом погрешности измерений занесите в таблицу 7. Считайте, что погрешность измерения времени равна цене деления секундомера. Сделайте вывод.

Таблица 7

$\text{l}$, мn$t \pm \Delta t$, с$T \pm \Delta T$, с

0,25 20

0,49 20

3. Исследуйте зависимость периода колебаний математического маятника от значения силы, действующей на груз в вертикальном направлении. Для этого под маятником длиной 25 см поместите полосовой магнит. Определите период колебаний, сравните его с периодом колебаний маятника в отсутствие магнита. Сделайте вывод.

4. Покажите, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза. Для этого к нити неизменной длины подвешивайте грузы разной массы. Для каждого случая определите период колебаний, сохраняя одинаковой амплитуду. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу, составленную самостоятельно по аналогии с таблицей 7. Сделайте вывод.

5. Покажите, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Для этого маятник отклоните сначала на 3 см, а затем на 4 см от положения равновесия и определите период колебаний в каждом случае. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу, составленную самостоятельно по аналогии с таблицей 7. Сделайте вывод.

6. Покажите, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза. Прикрепляя к пружине грузы разной массы, определите период колебаний маятника в каждом случае, измерив время 10 колебаний. Данные занесите в таблицу, составленную самостоятельно по аналогии с таблицей 7. Сделайте вывод.

7. Покажите, что период колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины. Данные занесите в таблицу, составленную самостоятельно по аналогии с таблицей 7. Сделайте вывод.

8. Покажите, что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу, составленную самостоятельно по аналогии с таблицей 7. Сделайте вывод.

Решение.

Исследуйте зависимость периода колебаний математического маятника от длины нити.

Для выполнения этого задания необходимо провести вычисления на основе данных, представленных в таблице, и теоретических формул.

Дано:

Длина нити маятника №1, $l_1 = 25 \text{ см}$
Длина нити маятника №2, $l_2 = 49 \text{ см}$
Число полных колебаний, $n = 20$
Погрешность измерения времени (цена деления секундомера), $\Delta t = 1 \text{ с}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$l_1 = 0.25 \text{ м}$
$l_2 = 0.49 \text{ м}$

Найти:

Время колебаний $t_1 \pm \Delta t, t_2 \pm \Delta t$
Период колебаний $T_1 \pm \Delta T_1, T_2 \pm \Delta T_2$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Период также можно найти экспериментально, измерив время $\text{t}$ для $\text{n}$ полных колебаний: $T = \frac{t}{n}$.

Погрешность определения периода вычисляется как $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$.

1. Расчет для маятника с длиной нити $l_1 = 0.25 \text{ м}$:

Сначала вычислим теоретическое значение периода:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.0255} \text{ с} \approx 6.28 \cdot 0.16 \text{ с} \approx 1.0 \text{ с}$

Теперь найдем ожидаемое время $t_1$ для 20 колебаний:

$t_1 = n \cdot T_1 = 20 \cdot 1.0 \text{ с} = 20.0 \text{ с}$

Вычислим погрешность определения периода:

$\Delta T_1 = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \text{ с}}{20} = 0.05 \text{ с}$

2. Расчет для маятника с длиной нити $l_2 = 0.49 \text{ м}$:

Вычислим теоретическое значение периода:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.49 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.05} \text{ с} \approx 6.28 \cdot 0.224 \text{ с} \approx 1.4 \text{ с}$

Найдем ожидаемое время $t_2$ для 20 колебаний:

$t_2 = n \cdot T_2 = 20 \cdot 1.4 \text{ с} = 28.0 \text{ с}$

Погрешность определения периода будет такой же:

$\Delta T_2 = \frac{\Delta t}{n} = \frac{1 \text{ с}}{20} = 0.05 \text{ с}$

Заполним таблицу 7 полученными значениями (значения времени $\text{t}$ являются расчетными, так как реальный эксперимент не проводился).

l, м	n	t ± Δt, с	T ± ΔT, с
0,25	20	20,0 ± 1	1,00 ± 0,05
0,49	20	28,0 ± 1	1,40 ± 0,05

Вывод: Из результатов видно, что при увеличении длины нити маятника с 0,25 м до 0,49 м, его период колебаний увеличился с 1,0 с до 1,4 с. Проверим теоретическую зависимость $T \propto \sqrt{l}$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.4}{1.0} = 1.4$

$\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{0.49}{0.25}} = \sqrt{1.96} = 1.4$

Соотношения равны, следовательно, период колебаний математического маятника прямо пропорционален квадратному корню из его длины.

Ответ: Период колебаний математического маятника зависит от длины его нити. С увеличением длины нити период колебаний увеличивается. Зависимость периода от длины выражается формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

3. Исследуйте зависимость периода колебаний математического маятника от значения силы, действующей на груз в вертикальном направлении.

Если под маятником с грузом из ферромагнитного материала поместить полосовой магнит, то к силе тяжести $mg$ добавится сила магнитного притяжения $F_м$, направленная также вертикально вниз. Результирующая сила, возвращающая маятник в положение равновесия, будет зависеть от суммы этих сил. Это эквивалентно увеличению ускорения свободного падения до некоторого эффективного значения $g_{эфф} = g + \frac{F_м}{m}$. Формула периода примет вид $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$. Поскольку $g_{эфф} > g$, то $T' < T$. Таким образом, период колебаний уменьшится.

Ответ: Период колебаний математического маятника зависит от силы, действующей на груз в вертикальном направлении. Увеличение этой силы (например, с помощью магнита) приводит к уменьшению периода колебаний.

4. Покажите, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Формула периода колебаний математического маятника имеет вид: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. В этой формуле отсутствует масса груза $\text{m}$. Это означает, что в рамках данной модели (идеальный математический маятник, малые углы отклонения, отсутствие сопротивления воздуха) период колебаний не зависит от массы подвешенного тела. Если провести эксперимент с грузами разной массы, но с одинаковой длиной нити, то измеренные периоды будут примерно одинаковыми в пределах погрешности измерений.

Ответ: Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

5. Покажите, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний.

Свойство колебательной системы сохранять постоянный период при изменении амплитуды называется изохронностью. Для математического маятника это свойство выполняется только для малых углов отклонения (малых амплитуд), при которых $\sin \alpha \approx \alpha$. Формула $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ справедлива именно в этом приближении. Если провести эксперименты с маятником, отклоняя его на небольшие разные углы (например, соответствующие амплитудам 3 см и 4 см), то измеренные периоды будут практически одинаковы. При больших амплитудах период начинает зависеть от нее и увеличивается.

Ответ: При малых амплитудах колебаний период математического маятника от них не зависит.

6. Покажите, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза.

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость пружины. Из формулы видно, что период $\text{T}$ прямо пропорционален квадратному корню из массы $\text{m}$. Следовательно, если увеличить массу груза, подвешенного на пружине, период его колебаний увеличится. Экспериментально это подтвердится: при подвешивании более тяжелых грузов к одной и той же пружине время, необходимое для совершения 10 колебаний, будет расти.

Ответ: Период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза. С увеличением массы период колебаний увеличивается ($T \propto \sqrt{m}$).

7. Покажите, что период колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины.

В формуле периода пружинного маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ период $\text{T}$ обратно пропорционален квадратному корню из жесткости пружины $\text{k}$. Жесткость пружины характеризует ее упругие свойства: чем больше жесткость, тем труднее растянуть или сжать пружину. Таким образом, при использовании более жесткой пружины (с большим $\text{k}$) и той же массы груза период колебаний будет меньше, то есть колебания будут происходить чаще.

Ответ: Период колебаний пружинного маятника зависит от жёсткости пружины. С увеличением жёсткости период колебаний уменьшается ($T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$).

8. Покажите, что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

В формуле периода колебаний пружинного маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ отсутствует амплитуда колебаний $\text{A}$. Это означает, что для идеального пружинного маятника (колебания происходят в пределах упругой деформации пружины, и отсутствует трение) период не зависит от того, насколько сильно мы оттянули груз от положения равновесия. Это свойство изохронности для гармонических колебаний, которыми являются колебания пружинного маятника, выполняется строго, в отличие от математического маятника.

Ответ: Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (в пределах упругости пружины).