Номер 3, страница 24 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Тело движется вдоль оси Ох. На рисунке 30 изображен график зависимости проекции ускорения тела от времени. В начальный момент времени $t = 0$ проекция скорости тела была равной $v_{0x} = 3 \text{ м/с}$. Определите проекцию скорости $\text{v}$ тела в моменты времени $t = 1 \text{ с}$ и $t = 2 \text{ с}$. Постройте график зависимости скорости от времени, определите пройденный телом путь. $\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Рис. 30. К упражнению 3.3

Дано:

График зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$.

Начальная проекция скорости при $t=0$: $v_{0x} = 3 \text{ м/с}$.

Из графика:

На интервале времени $t \in [0; 1 \text{ с}]$, проекция ускорения постоянна и равна $a_{1x} = 2 \text{ м/с}^2$.

На интервале времени $t \in (1 \text{ с}; 2 \text{ с}]$, проекция ускорения постоянна и равна $a_{2x} = -3 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

1. Проекции скорости $v_{1x}$ и $v_{2x}$ в моменты времени $t_1 = 1 \text{ с}$ и $t_2 = 2 \text{ с}$.

2. Построить график зависимости скорости от времени $v_x(t)$.

3. Пройденный телом путь $S$ за время $t = 2 \text{ с}$.

Решение:

Движение тела на всем интервале времени можно разбить на два участка с постоянным ускорением.

Определите проекцию скорости $v$ тела в моменты времени $t = 1$ с и $t = 2$ с.

Проекция скорости тела при равноускоренном движении находится по формуле:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ – начальная проекция скорости, $a_x$ – проекция ускорения.

Участок 1: $t \in [0; 1 \text{ с}]$

На этом участке начальная скорость $v_{0x} = 3 \text{ м/с}$, а ускорение $a_{1x} = 2 \text{ м/с}^2$. Найдем проекцию скорости в конце этого участка, в момент времени $t_1 = 1 \text{ с}$:

$v_{1x} = v_x(1) = v_{0x} + a_{1x} \cdot t_1 = 3 \text{ м/с} + 2 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 5 \text{ м/с}$.

Участок 2: $t \in (1 \text{ с}; 2 \text{ с}]$

На этом участке движение начинается с начальной скоростью, равной скорости в конце первого участка, то есть $v_{1x} = 5 \text{ м/с}$. Ускорение на этом участке $a_{2x} = -3 \text{ м/с}^2$. Длительность этого участка времени $\Delta t = t_2 - t_1 = 2 \text{ с} - 1 \text{ с} = 1 \text{ с}$.

Найдем проекцию скорости в момент времени $t_2 = 2 \text{ с}$:

$v_{2x} = v_x(2) = v_{1x} + a_{2x} \cdot \Delta t = 5 \text{ м/с} + (-3 \text{ м/с}^2) \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ м/с}$.

Ответ: Проекция скорости в момент времени $t = 1$ с равна $5 \text{ м/с}$, а в момент времени $t = 2$ с равна $2 \text{ м/с}$.

Постройте график зависимости скорости от времени.

Поскольку на каждом из двух участков ускорение постоянно, зависимость скорости от времени является линейной. График будет состоять из двух отрезков прямых.

Участок 1: $t \in [0; 1 \text{ с}]$

Уравнение скорости: $v_x(t) = 3 + 2t$. График – отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 3)$ и $(1; 5)$.

Участок 2: $t \in (1 \text{ с}; 2 \text{ с}]$

Уравнение скорости: $v_x(t) = v_{1x} + a_{2x}(t - 1) = 5 - 3(t - 1)$. График – отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(1; 5)$ и $(2; 2)$.

Таким образом, для построения графика необходимо на координатной плоскости $(t, v_x)$ отметить точки $(0; 3)$, $(1; 5)$ и $(2; 2)$ и соединить их последовательно отрезками прямых.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v_x(t)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через точки $(0 \text{ с}; 3 \text{ м/с})$, $(1 \text{ с}; 5 \text{ м/с})$ и $(2 \text{ с}; 2 \text{ м/с})$.

Определите пройденный телом путь.

Пройденный путь $S$ можно определить как площадь фигуры под графиком скорости $v_x(t)$.

В нашем случае проекция скорости $v_x(t)$ на всем интервале времени от $0$ до $2$ с положительна, так как ее минимальное значение равно $2 \text{ м/с}$ в момент $t=2 \text{ с}$. Это означает, что тело все время двигалось в одном направлении (вдоль оси Ох), поэтому пройденный путь равен перемещению.

Вычислим площадь под графиком $v_x(t)$ как сумму площадей двух трапеций.

Путь на первом участке, $S_1$ (площадь трапеции за $t \in [0; 1 \text{ с}]$):

$S_1 = \frac{v_{0x} + v_{1x}}{2} \cdot \Delta t_1 = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = 4 \text{ м}$.

Путь на втором участке, $S_2$ (площадь трапеции за $t \in [1 \text{ с}; 2 \text{ с}]$):

$S_2 = \frac{v_{1x} + v_{2x}}{2} \cdot \Delta t_2 = \frac{5 + 2}{2} \cdot 1 = 3,5 \text{ м}$.

Общий пройденный путь $S$ равен сумме путей на двух участках:

$S = S_1 + S_2 = 4 \text{ м} + 3,5 \text{ м} = 7,5 \text{ м}$.

Ответ: Пройденный телом путь за $2$ секунды составляет $7,5 \text{ м}$.