Страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Международный комплекс лыжных трамплинов Сункар в Алматы является одним из пяти лучших в мире (рис. 13.16). Это комбинированный трамплин, на котором можно прыгать как в зимнее время на снегу, так и на искусственном покрытии. Наблюдатель, находящийся в пункте A (рис. 13.17), видит конец шеста C и верхнюю точку D трамплина, расположенные на одной прямой. Какова высота трамплина, если $AE = 80 \text{ м}$, $AB = 6 \text{ м}$ и $BC = 3 \text{ м}$?

Рис. 13.16

Рис. 13.17

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. На рисунке 13.17 мы видим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Согласно условию, шест $BC$ и опора трамплина $DE$ перпендикулярны земле. Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$ являются прямоугольными, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle AED = 90^\circ$.

Точки $A$ (наблюдатель), $C$ (вершина шеста) и $D$ (вершина трамплина) лежат на одной прямой. Следовательно, угол $\angle CAB$ и угол $\angle DAE$ — это один и тот же угол. Таким образом, $\angle CAB = \angle DAE$.

Поскольку у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$ есть два равных угла (общий острый угол при вершине $A$ и прямые углы при вершинах $B$ и $E$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем это как $\triangle ABC \sim \triangle ADE$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Составим пропорцию для катетов:

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AE}$

Нам нужно найти высоту трамплина $DE$. Выразим $DE$ из этой пропорции:

$DE = \frac{BC \cdot AE}{AB}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$AB = 6$ м

$BC = 3$ м

$AE = 80$ м

Произведем вычисления:

$DE = \frac{3 \text{ м} \cdot 80 \text{ м}}{6 \text{ м}} = \frac{240 \text{ м}^2}{6 \text{ м}} = 40 \text{ м}$

Таким образом, высота трамплина составляет 40 метров.

Ответ: 40 м.

37. Изобразите прямоугольный треугольник, катеты которого равны:

а) 3, 4;

б) 6, 8;

в) 5, 12.

Измерьте его гипотенузу. Попробуйте найти формулу, выражающую гипотенузу через катеты.

Для решения этой задачи мы будем изображать (мысленно или на бумаге) прямоугольные треугольники с заданными длинами катетов, а затем находить длину гипотенузы. Катеты — это стороны, образующие прямой угол, а гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

а) Возьмем прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4. Обозначим катеты как $a = 3$ и $b = 4$, а гипотенузу как $c$. Если изобразить такой треугольник (например, на клетчатой бумаге, где одна клетка — это одна единица длины) и измерить гипотенузу линейкой, мы получим значение, близкое к 5.
Чтобы найти точное значение, воспользуемся расчетами. Давайте проверим, как связаны квадраты сторон:
Сумма квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Квадрат гипотенузы: $c^2 = 5^2 = 25$.
Мы видим, что $a^2 + b^2 = c^2$. Значит, длина гипотенузы равна 5.
Ответ: 5.

б) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ и $b = 8$.
Измерив гипотенузу на чертеже, мы получили бы значение около 10.
Проверим с помощью вычислений:
Сумма квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Если предположить, что гипотенуза равна 10, то ее квадрат $c^2 = 10^2 = 100$.
Снова получаем, что $a^2 + b^2 = c^2$. Длина гипотенузы равна 10.
Ответ: 10.

в) Для прямоугольного треугольника с катетами $a = 5$ и $b = 12$:
Измерения на чертеже дали бы результат около 13.
Проверим расчетом:
Сумма квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Квадрат числа 13: $13^2 = 169$.
Таким образом, и в этом случае $a^2 + b^2 = c^2$, и гипотенуза $c$ равна 13.
Ответ: 13.

Поиск формулы
Проанализировав все три случая, мы можем заметить одну и ту же закономерность. Если обозначить катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$, то между ними существует следующее соотношение: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Математически это записывается так:
$a^2 + b^2 = c^2$
Это утверждение известно как теорема Пифагора.
Чтобы из этой формулы выразить гипотенузу $c$ через катеты $a$ и $b$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: Формула, выражающая гипотенузу ($c$) через катеты ($a$ и $b$), имеет вид: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.