Страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м, затем повернул на север и прошел 600 м (рис. 14.9). На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Рис. 14.9

Движение мальчика можно представить как два последовательных перемещения, которые перпендикулярны друг другу. Первое перемещение на 800 м на восток и второе на 600 м на север образуют два катета прямоугольного треугольника. Начальная точка (дом) и конечная точка (место, где оказался мальчик) соединены отрезком, который является гипотенузой этого треугольника.

Чтобы найти расстояние от дома, нужно вычислить длину гипотенузы. Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть $a$ — длина первого катета (путь на восток), $b$ — длина второго катета (путь на север), а $c$ — искомое расстояние (гипотенуза).

$a = 800$ м

$b = 600$ м

Формула теоремы Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения в формулу:

$c^2 = 800^2 + 600^2$

Вычислим квадраты катетов:

$c^2 = 640000 + 360000$

$c^2 = 1000000$

Теперь найдем $c$, извлекая квадратный корень:

$c = \sqrt{1000000}$

$c = 1000$ м

Следовательно, мальчик оказался на расстоянии 1000 м от дома.

Ответ: 1000 м.

17. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м, затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м (рис. 14.10). На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Для решения задачи представим перемещения девочки в виде векторов на координатной плоскости. Примем дом за начало координат (0,0). Направим ось X на восток, а ось Y на север.

1. Девочка прошла 500 м на запад. Это соответствует смещению на -500 по оси X.

2. Затем она прошла 300 м на север. Это соответствует смещению на +300 по оси Y.

3. После этого она прошла 100 м на восток. Это соответствует смещению на +100 по оси X.

Теперь найдем суммарное смещение по каждой оси:

Смещение по оси X (запад-восток): $S_x = -500 \text{ м} + 100 \text{ м} = -400 \text{ м}$. Знак "минус" означает, что итоговое смещение направлено на запад.

Смещение по оси Y (юг-север): $S_y = 300 \text{ м}$.

Итоговое положение девочки находится в точке с координатами (-400, 300). Расстояние от дома (начала координат) до этой точки можно найти по теореме Пифагора, так как смещения по осям X и Y являются катетами прямоугольного треугольника, а искомое расстояние $d$ — его гипотенузой.

Формула теоремы Пифагора:

$d^2 = S_x^2 + S_y^2$

Подставляем наши значения:

$d = \sqrt{(-400 \text{ м})^2 + (300 \text{ м})^2}$

$d = \sqrt{160000 \text{ м}^2 + 90000 \text{ м}^2}$

$d = \sqrt{250000 \text{ м}^2}$

$d = 500 \text{ м}$

Ответ: девочка оказалась на расстоянии 500 м от дома.

18. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч (рис. 14.11). Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Для решения задачи необходимо найти расстояние, которое прошел каждый пароход, а затем, используя теорему Пифагора, найти расстояние между ними.

1. Вычислим расстояние, которое прошел первый пароход, двигавшийся на север со скоростью $15 \text{ км/ч}$ в течение $2 \text{ ч}$:
$d_1 = 15 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 30 \text{ км}$.

2. Вычислим расстояние, которое прошел второй пароход, двигавшийся на запад со скоростью $20 \text{ км/ч}$ в течение $2 \text{ ч}$:
$d_2 = 20 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.

Так как направления движения пароходов (север и запад) перпендикулярны, то их пути от порта образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между пароходами является гипотенузой этого треугольника.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($D$) равен сумме квадратов катетов ($d_1$ и $d_2$):
$D^2 = d_1^2 + d_2^2$
$D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$
Подставляем значения:
$D = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ км}$.

Ответ: расстояние между пароходами через 2 часа будет 50 км.

19. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м (рис. 14.12). На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Рис. 14.12

Для решения этой задачи мы можем представить лестницу, стену и землю как стороны прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:
- Длина лестницы является гипотенузой ($c$), $c = 12,5$ м.
- Расстояние от нижнего конца лестницы до стены является одним из катетов ($a$), $a = 3,5$ м.
- Высота от земли, на которой находится верхний конец лестницы, является вторым катетом ($b$), который нам нужно найти.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Чтобы найти неизвестный катет $b$, выразим его из формулы:
$b^2 = c^2 - a^2$

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:
$b^2 = (12,5)^2 - (3,5)^2$
$b^2 = 156,25 - 12,25$
$b^2 = 144$

Чтобы найти высоту $b$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$b = \sqrt{144}$
$b = 12$ м

Ответ: верхний конец лестницы находится на высоте 12 м.

20. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 м, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м (рис. 14.13)?

Эта задача решается с помощью теоремы Пифагора. Лестница, стена дома и земля образуют прямоугольный треугольник, где стена и земля являются катетами, а лестница — гипотенузой.

Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c.
Высота окна — это один катет: $a = 8$ м.
Расстояние от дома до лестницы — это второй катет: $b = 6$ м.
Длина лестницы — это гипотенуза c, которую нам нужно найти.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения в формулу:
$c^2 = 8^2 + 6^2$
$c^2 = 64 + 36$
$c^2 = 100$

Теперь найдем длину гипотенузы c, извлекая квадратный корень:
$c = \sqrt{100}$
$c = 10$ м

Ответ: длина лестницы должна быть 10 м.

21. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

Для нахождения стороны ромба воспользуемся его свойствами. Главное свойство, которое нам понадобится: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Пересекаясь, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катетами являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба.

Даны длины диагоналей: $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.

Найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Обозначим их $a$ и $b$:
$a = \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
$b = \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь мы можем найти сторону ромба (обозначим ее как $c$), которая является гипотенузой этого треугольника, с помощью теоремы Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим найденные значения катетов в формулу:
$c^2 = 3^2 + 4^2$
$c^2 = 9 + 16$
$c^2 = 25$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

22. В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ и $b = 4$.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$

Найдите эту высоту

Обозначим высоту, опущенную на гипотенузу, как $h$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на опущенную на нее высоту.

$S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h$

Приравняв правые части этих формул, получим:

$a \cdot b = c \cdot h$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: высота равна 2.4.

Найдите отрезки, на которые она делит гипотенузу

Высота $h$ делит гипотенузу $c$ на два отрезка. Обозначим их $c_a$ и $c_b$ — это проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем отрезок $c_a$, который является проекцией катета $a=3$ на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot c_a$

$3^2 = 5 \cdot c_a$

$9 = 5 \cdot c_a$

$c_a = \frac{9}{5} = 1.8$

Аналогично найдем второй отрезок $c_b$, который является проекцией катета $b=4$:

$b^2 = c \cdot c_b$

$4^2 = 5 \cdot c_b$

$16 = 5 \cdot c_b$

$c_b = \frac{16}{5} = 3.2$

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $c_a + c_b = 1.8 + 3.2 = 5$, что в точности равно длине гипотенузы $c$.

Ответ: отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны 1.8 и 3.2.