Номер 22, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ и $b = 4$.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$

Найдите эту высоту

Обозначим высоту, опущенную на гипотенузу, как $h$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на опущенную на нее высоту.

$S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h$

Приравняв правые части этих формул, получим:

$a \cdot b = c \cdot h$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: высота равна 2.4.

Найдите отрезки, на которые она делит гипотенузу

Высота $h$ делит гипотенузу $c$ на два отрезка. Обозначим их $c_a$ и $c_b$ — это проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем отрезок $c_a$, который является проекцией катета $a=3$ на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot c_a$

$3^2 = 5 \cdot c_a$

$9 = 5 \cdot c_a$

$c_a = \frac{9}{5} = 1.8$

Аналогично найдем второй отрезок $c_b$, который является проекцией катета $b=4$:

$b^2 = c \cdot c_b$

$4^2 = 5 \cdot c_b$

$16 = 5 \cdot c_b$

$c_b = \frac{16}{5} = 3.2$

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $c_a + c_b = 1.8 + 3.2 = 5$, что в точности равно длине гипотенузы $c$.

Ответ: отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны 1.8 и 3.2.