Номер 26, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Найдите неизвестные отрезки (рис. 14.16).

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Рис. 14.16

а) На рисунке изображен прямоугольный треугольник $ABD$ с прямым углом при вершине $A$. Катеты треугольника равны $AB = 3$ и $AD = 2$. Неизвестный отрезок $BD$ является гипотенузой. Для ее нахождения воспользуемся теоремой Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$BD = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

б) На рисунке фигура $EFHD$ является квадратом, так как его углы при вершинах $F$ и $H$ прямые, а фигура имеет правильную форму. Длина стороны $EF$ равна 2, следовательно, все стороны квадрата равны 2. В частности, сторона $FH = 2$. Треугольник $FHG$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике два острых угла, $\angle HFG$ и $\angle HGF$, отмечены как равные. Это означает, что треугольник $FHG$ является равнобедренным, и его катеты равны: $HG = FH$. Поскольку $FH = 2$, то и $HG = 2$. Неизвестный отрезок $FG$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:

$FG^2 = FH^2 + HG^2$

$FG^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$FG = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) На сторонах треугольника $ABC$ стоят одинаковые метки, что означает, что треугольник является равносторонним. Все его стороны равны: $AB = BC = AC = 3$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Отрезок $AD$ является высотой, опущенной на сторону $BC$, следовательно, треугольник $ADC$ - прямоугольный с гипотенузой $AC=3$ и острым углом $\angle C = 60^\circ$. Неизвестный отрезок $AD$ является катетом этого треугольника. Его длину можно найти через синус угла $C$:

$\sin(C) = \frac{AD}{AC}$

$AD = AC \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

г) Фигура $KLMN$ является ромбом, так как все ее стороны отмечены как равные. Диагонали ромба $KM$ и $LN$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Дано: $KM=2$ и $LN=3$. Найдем длины половин диагоналей:

$KO = \frac{KM}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$LO = \frac{LN}{2} = \frac{3}{2}$

Треугольник $KOL$ является прямоугольным с катетами $KO$ и $LO$. Неизвестный отрезок $KL$ (сторона ромба) является гипотенузой в этом треугольнике. Найдем ее по теореме Пифагора:

$KL^2 = KO^2 + LO^2$

$KL^2 = 1^2 + (\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4+9}{4} = \frac{13}{4}$

$KL = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

д) Предположим, что треугольник $PQR$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $Q$ ($\angle PQR = 90^\circ$). Его катеты $PQ=2$ и $QR=4$. Точка $O$ является серединой гипотенузы $PR$, так как отрезки $PO$ и $OR$ отмечены как равные. Отрезок $QO$, длину которого нужно найти, является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу $PR$ по теореме Пифагора:

$PR^2 = PQ^2 + QR^2$

$PR^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$PR = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Теперь найдем длину медианы $QO$:

$QO = \frac{1}{2}PR = \frac{1}{2}(2\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

е) В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ отмечены как равные, значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$. Дано: боковые стороны $AB=BC=5$ и основание $AC=4$. Отрезок $BH$ является биссектрисой угла $B$ (углы $ABH$ и $CBH$ отмечены как равные). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $BH$ - высота ($BH \perp AC$) и медиана ($AH = HC$). Так как $BH$ - медиана, она делит основание $AC$ пополам:

$HC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Так как $BH$ - высота, треугольник $BHC$ является прямоугольным. Неизвестный отрезок $BH$ является катетом этого треугольника. Найдем его по теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 2^2 = 5^2$

$BH^2 + 4 = 25$

$BH^2 = 21$

$BH = \sqrt{21}$

Ответ: $\sqrt{21}$

ж) На рисунке точки $E$, $G$, $F$ лежат на одной прямой. Отрезок $HG$ перпендикулярен этой прямой, так как угол $EGH$ прямой. Это означает, что треугольник $HGF$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $G$. Нам даны длины катетов этого треугольника: $HG=1$ и $GF=5$. Неизвестный отрезок $HF$ является гипотенузой. Найдем ее длину по теореме Пифагора:

$HF^2 = HG^2 + GF^2$

$HF^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$

$HF = \sqrt{26}$

Ответ: $\sqrt{26}$