Номер 28, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Какой из треугольников ABC, KLM, PQR имеет наименьший периметр (рис. 14.19)?

Рис. 14.19

Для того чтобы определить, какой из треугольников имеет наименьший периметр, необходимо вычислить периметр каждого треугольника. Периметр равен сумме длин всех его сторон. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1. Длины сторон, не параллельных осям координат, вычислим по теореме Пифагора.

Вычисление периметра треугольника ABC

Вершины треугольника ABC имеют координаты A(0, 5), B(4, 5), C(0, 3).Сторона AC — вертикальная, ее длина $AC = 5 - 3 = 2$.Сторона AB — горизонтальная, ее длина $AB = 4 - 0 = 4$.Длину стороны BC найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 2 (разность y-координат) и 4 (разность x-координат):$BC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.Периметр треугольника ABC: $P_{ABC} = AB + AC + BC = 4 + 2 + 2\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5}$.

Вычисление периметра треугольника KLM

Вершины треугольника KLM имеют координаты K(1, 3), L(3, 2), M(2, 0).Длина стороны KL, построенной на катетах 2 и 1, равна: $KL = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.Длина стороны LM, построенной на катетах 1 и 2, равна: $LM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.Длина стороны KM, построенной на катетах 1 и 3, равна: $KM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.Периметр треугольника KLM: $P_{KLM} = KL + LM + KM = \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{10} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Вычисление периметра треугольника PQR

Вершины треугольника PQR имеют координаты P(5, 6), Q(7, 4), R(5, 2).Сторона PR — вертикальная, ее длина $PR = 6 - 2 = 4$.Длина стороны PQ, построенной на катетах 2 и 2, равна: $PQ = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Длина стороны QR, построенной на катетах 2 и 2, равна: $QR = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Периметр треугольника PQR: $P_{PQR} = PR + PQ + QR = 4 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2}$.

Сравнение периметров и итоговый вывод

Теперь сравним полученные периметры. Для удобства сравнения можно использовать их приблизительные значения, взяв $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{5} \approx 2.24$, $\sqrt{10} \approx 3.16$.

$P_{ABC} = 6 + 2\sqrt{5} \approx 6 + 2 \times 2.24 = 6 + 4.48 = 10.48$

$P_{KLM} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \approx 2 \times 2.24 + 3.16 = 4.48 + 3.16 = 7.64$

$P_{PQR} = 4 + 4\sqrt{2} \approx 4 + 4 \times 1.41 = 4 + 5.64 = 9.64$

Сравнивая полученные значения, видим, что $7.64 < 9.64 < 10.48$. Таким образом, $P_{KLM} < P_{PQR} < P_{ABC}$.Следовательно, наименьший периметр у треугольника KLM.

Ответ: треугольник KLM.