Номер 34, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Аня, Витя и Сережа живут в домах A, B, C, расстояния между которыми равны соответственно 400 м, 680 м и 840 м (рис. 14.24). Дороги BD и AC пересекаются под прямым углом, и на их пересечении находится школа, в которой учатся ребята. Чему равны расстояния от школы до каждого из домов?

Рис. 14.24

Обозначим дома Ани, Вити и Сережи буквами A, B и C соответственно, а школу — буквой O. По условию, расстояния между домами образуют треугольник ABC со сторонами $AB = 400$ м, $BC = 680$ м и $AC = 840$ м.

Школа (O) находится на пересечении дорог, одна из которых совпадает с отрезком AC, а другая, проходящая через дом B, перпендикулярна ей. Это означает, что отрезок BO является высотой треугольника ABC, опущенной из вершины B на сторону AC. Следовательно, точка O лежит на стороне AC, и образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$:
$AO^2 + BO^2 = AB^2 \implies AO^2 + BO^2 = 400^2 = 160000$

В прямоугольном треугольнике $\triangle COB$:
$CO^2 + BO^2 = BC^2 \implies CO^2 + BO^2 = 680^2 = 462400$

Теперь у нас есть система уравнений. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $BO^2$:
$(CO^2 + BO^2) - (AO^2 + BO^2) = 462400 - 160000$
$CO^2 - AO^2 = 302400$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Так как точка O лежит на отрезке AC, то $AO + CO = AC = 840$ м. Подставим это значение:
$(CO - AO)(CO + AO) = 302400$
$(CO - AO) \cdot 840 = 302400$
$CO - AO = \frac{302400}{840} = 360$

Теперь мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения AO и CO:
$CO + AO = 840$
$CO - AO = 360$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти CO (расстояние до дома Сережи):
$2 \cdot CO = 840 + 360 = 1200$
$CO = \frac{1200}{2} = 600$ м.

Теперь найдем AO (расстояние до дома Ани) из первого уравнения: $600 + AO = 840 \implies AO = 840 - 600 = 240$ м.

Наконец, найдем длину высоты BO (расстояние от школы до дома Вити) из уравнения для треугольника $\triangle AOB$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2$
$BO^2 = 400^2 - 240^2 = 160000 - 57600 = 102400$
$BO = \sqrt{102400} = 320$ м.

Таким образом, искомые расстояния: от школы до дома Ани (AO) — 240 м, от школы до дома Вити (BO) — 320 м, от школы до дома Сережи (CO) — 600 м.

Ответ: расстояние от школы до дома Ани равно 240 м, до дома Вити — 320 м, до дома Сережи — 600 м.