Номер 37, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Международный комплекс лыжных трамплинов Сункар в Алматы является одним из пяти лучших в мире. Он состоит из двух трамплинов, на которых можно прыгать как в зимнее время на снегу, так и на искусственном покрытии (рис. 14.27). Один из трамплинов в полтора раза выше другого. Расстояние между основаниями трамплинов равно 15 м, а между их верхушками — 25 м. Чему равна высота каждого трамплина?

Рис. 14.27

Для решения задачи представим ситуацию в виде геометрической модели. Два трамплина, расположенные вертикально, линия земли и линия, соединяющая их верхушки, образуют прямоугольную трапецию.

Обозначим высоту меньшего трамплина как $h$. Согласно условию, больший трамплин в полтора раза выше, следовательно, его высота составляет $1.5h$.

В получившейся трапеции:

• параллельные стороны (основания) — это высоты трамплинов, $h$ и $1.5h$.

• высота трапеции — это расстояние между основаниями трамплинов, равное 15 м.

• наклонная сторона — это расстояние между верхушками трамплинов, равное 25 м.

Для нахождения неизвестных высот воспользуемся теоремой Пифагора. Проведем из верхушки меньшего трамплина линию, параллельную земле, до пересечения с большим трамплином. В результате образуется прямоугольный треугольник, у которого:

• один катет равен расстоянию между основаниями трамплинов, то есть 15 м.

• второй катет равен разности высот трамплинов: $1.5h - h = 0.5h$.

• гипотенуза равна расстоянию между верхушками, то есть 25 м.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Составим уравнение:

$15^2 + (0.5h)^2 = 25^2$

Решим это уравнение относительно $h$:

$225 + 0.25h^2 = 625$

$0.25h^2 = 625 - 225$

$0.25h^2 = 400$

$h^2 = \frac{400}{0.25}$

$h^2 = 1600$

$h = \sqrt{1600}$

$h = 40$ м.

Таким образом, высота меньшего трамплина равна 40 м.

Теперь найдем высоту большего трамплина:

$1.5 \cdot h = 1.5 \cdot 40 = 60$ м.

Ответ: высота меньшего трамплина — 40 м, высота большего трамплина — 60 м.