Номер 3, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите cos A, если:

а) $sin A = \frac{1}{3}$;

б) $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Для решения этой задачи используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Из этого тождества можно выразить $cos^2 A$:

$cos^2 A = 1 - sin^2 A$

Тогда $cos A = \pm \sqrt{1 - sin^2 A}$.

В контексте геометрии, угол A обычно является углом треугольника, то есть $0° < A < 180°$. Если угол A острый ($0° < A < 90°$), то $cos A > 0$. Если угол A тупой ($90° < A < 180°$), то $cos A < 0$. Так как в условии задачи нет дополнительной информации об угле A, но значения синуса положительны, угол A может быть как острым, так и тупым. Однако, в стандартных школьных задачах такого типа, если не указано иное, обычно ищут значение для острого угла. Будем считать, что A - острый угол, и, следовательно, $cos A$ будет положительным.

а) Найти $cos A$, если $sin A = \frac{1}{3}$.

Используем формулу $cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}}$

Упростим полученное выражение:

$cos A = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

б) Найти $cos A$, если $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Используем ту же формулу $cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}}$

Упростим полученное выражение:

$cos A = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{3} $.