Номер 9, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите $\cos A$, если:

a) $\tan A = 3$;

б) $\tan A = 0,5$.

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$. Из этого тождества можно выразить $\cos^2 A$: $\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A}$.

Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол A, будем исходить из того, что A — это острый угол (например, в прямоугольном треугольнике). В этом случае значение $\cos A$ будет положительным.

а) Дано, что $\text{tg} A = 3$.

Подставим это значение в формулу для $\cos^2 A$:

$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.

Теперь найдем $\cos A$, извлекая квадратный корень. Поскольку мы предположили, что угол A острый, берем положительное значение корня:

$\cos A = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\cos A = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

б) Дано, что $\text{tg} A = 0,5$.

Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Подставим значение тангенса в формулу:

$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Найдем $\cos A$, взяв положительное значение квадратного корня:

$\cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\cos A = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.