Номер 9, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2018 - 2025
Цвет обложки: синий, белый
ISBN: 978-601-07-0959-1
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Параграф 15. Тригонометрические тождества - номер 9, страница 74.
№9 (с. 74)
Условие. №9 (с. 74)

9. Найдите $\cos A$, если:
a) $\tan A = 3$;
б) $\tan A = 0,5$.
Решение. №9 (с. 74)

Решение 2 (rus). №9 (с. 74)
Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$. Из этого тождества можно выразить $\cos^2 A$: $\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A}$.
Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол A, будем исходить из того, что A — это острый угол (например, в прямоугольном треугольнике). В этом случае значение $\cos A$ будет положительным.
а) Дано, что $\text{tg} A = 3$.
Подставим это значение в формулу для $\cos^2 A$:
$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.
Теперь найдем $\cos A$, извлекая квадратный корень. Поскольку мы предположили, что угол A острый, берем положительное значение корня:
$\cos A = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\cos A = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.
б) Дано, что $\text{tg} A = 0,5$.
Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Подставим значение тангенса в формулу:
$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.
Найдем $\cos A$, взяв положительное значение квадратного корня:
$\cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\cos A = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 8 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 74 к учебнику 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №9 (с. 74), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.