Номер 16, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Найдите ctg A, если:

а) $sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$

б) $sin A = 0,8$

а) Для нахождения котангенса угла A, зная его синус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A}$.

Из этого тождества выразим квадрат котангенса:

$ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A} - 1$.

По условию дано, что $sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Сначала найдем квадрат синуса:

$sin^2 A = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Теперь подставим это значение в формулу для квадрата котангенса:

$ctg^2 A = \frac{1}{1/5} - 1 = 5 - 1 = 4$.

Из этого следует, что $ctg A = \pm\sqrt{4} = \pm 2$. Поскольку в задачах по геометрии обычно рассматриваются острые углы (углы в первой четверти), для которых значения всех тригонометрических функций положительны, мы выбираем положительный корень.

Ответ: $2$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему, используя то же тригонометрическое тождество $1 + ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A}$.

По условию $sin A = 0,8$. Для удобства вычислений представим это значение в виде обыкновенной дроби:

$sin A = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Найдем квадрат синуса:

$sin^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.

Найдем квадрат котангенса по формуле $ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A} - 1$:

$ctg^2 A = \frac{1}{16/25} - 1 = \frac{25}{16} - 1 = \frac{25 - 16}{16} = \frac{9}{16}$.

Следовательно, $ctg A = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$. Так же, как и в пункте а), будем считать угол A острым, поэтому его котангенс положителен.

Ответ: $\frac{3}{4}$ (или $0,75$).