Вопросы, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и синус противолежащего угла?

2. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и косинус прилежащего угла?

3. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и тангенс противолежащего угла?

4. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и котангенс прилежащего угла?

Для подробного ответа на вопросы введем обозначения для прямоугольного треугольника. Пусть катеты будут $a$ и $b$, гипотенуза — $c$. Угол, противолежащий катету $a$, назовем $\alpha$, а угол, противолежащий катету $b$ и прилежащий к катету $a$, — $\beta$.

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и синус противолежащего угла?
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$ это записывается как $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$. Чтобы из этой формулы выразить катет $a$, необходимо умножить гипотенузу $c$ на $\sin(\alpha)$. Таким образом, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла.
Ответ: Катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла. Формула: $a = c \cdot \sin(\alpha)$.

2. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и косинус прилежащего угла?
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Соответственно, $\cos(\beta) = \frac{a}{c}$. Чтобы выразить катет $a$, нужно умножить гипотенузу $c$ на косинус прилежащего к нему угла $\beta$. Таким образом, катет равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
Ответ: Катет равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла. Формула: $a = c \cdot \cos(\beta)$.

3. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и тангенс противолежащего угла?
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$, противолежащим катетом является $a$, а прилежащим — $b$. Таким образом, $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$. Чтобы найти катет $a$, нужно второй катет $b$ умножить на тангенс угла $\alpha$, который противолежит искомому катету $a$.
Ответ: Катет равен произведению второго катета на тангенс противолежащего угла. Формула: $a = b \cdot \tan(\alpha)$.

4. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и котангенс прилежащего угла?
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему. Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Котангенс угла $\beta$ равен отношению прилежащего к нему катета ($a$) к противолежащему ($b$), то есть $\cot(\beta) = \frac{a}{b}$. Отсюда, катет $a$ равен произведению второго катета $b$ на котангенс прилежащего к искомому катету $a$ угла $\beta$.
Ответ: Катет равен произведению второго катета на котангенс прилежащего угла. Формула: $a = b \cdot \cot(\beta)$.