Номер 19, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Чему равно произведение катета прямоугольного треугольника на:

а) тангенс прилежащего острого угла;

б) котангенс противолежащего угла?

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$. В этом случае угол $\alpha$ является прилежащим к катету $b$, а угол $\beta$ — прилежащим к катету $a$.

Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ и $\tan(\beta) = \frac{b}{a}$.
Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$ и $\cot(\beta) = \frac{a}{b}$.

а) тангенс прилежащего острого угла
Найдем произведение катета на тангенс прилежащего к нему острого угла.
Для катета $b$ прилежащим является угол $\alpha$. Их произведение равно:
$b \cdot \tan(\alpha) = b \cdot \frac{a}{b} = a$
Результатом является катет $a$, то есть другой катет.
Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Их произведение равно:
$a \cdot \tan(\beta) = a \cdot \frac{b}{a} = b$
Результатом является катет $b$, то есть другой катет.
Следовательно, произведение катета прямоугольного треугольника на тангенс прилежащего острого угла равно другому катету.
Ответ: другому катету.

б) котангенс противолежащего угла
Найдем произведение катета на котангенс противолежащего ему угла.
Для катета $b$ противолежащим является угол $\beta$. Их произведение равно:
$b \cdot \cot(\beta) = b \cdot \frac{a}{b} = a$
Результатом является катет $a$, то есть другой катет.
Для катета $a$ противолежащим является угол $\alpha$. Их произведение равно:
$a \cdot \cot(\alpha) = a \cdot \frac{b}{a} = b$
Результатом является катет $b$, то есть другой катет.
Следовательно, произведение катета прямоугольного треугольника на котангенс противолежащего угла равно другому катету.
Ответ: другому катету.