Номер 17, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите sin A, если:

а) $ctg A = 2$;

б) $ctg A = \frac{1}{3}$.

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\text{sin}^2 A}$. Из этого тождества можно выразить $\text{sin}^2 A$: $\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 A}$. Поскольку угол A в подобных задачах обычно является углом треугольника, его синус положителен ($\text{sin} A > 0$).

а) Дано, что $\text{ctg} A = 2$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$

Так как $\text{sin} A > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$\text{sin} A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\text{sin} A = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

б) Дано, что $\text{ctg} A = \frac{1}{3}$.

Подставим это значение в ту же формулу:

$\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}}$

При делении на дробь, мы умножаем на перевернутую дробь:

$\text{sin}^2 A = \frac{9}{10}$

Так как $\text{sin} A > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$\text{sin} A = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\text{sin} A = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$