Номер 35, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Как далеко видит вокруг себя наблюдатель, находящийся на воздушном шаре, на высоте 10 км над землей? ($R_{\text{земли}} \approx 6400 \text{ км}$).

Для решения этой задачи представим себе сечение Земли, проходящее через ее центр, наблюдателя и точку на горизонте. В этом сечении Земля будет выглядеть как окружность, а линия взгляда наблюдателя на горизонт — как касательная к этой окружности. Наблюдатель, центр Земли и точка на горизонте образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• Один катет — это радиус Земли, $R_{земли}$.
• Второй катет — это искомое расстояние до горизонта, которое мы обозначим как $d$.
• Гипотенуза — это расстояние от центра Земли до наблюдателя, равное сумме радиуса Земли и высоты наблюдателя над поверхностью, то есть $(R_{земли} + h)$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$(R_{земли} + h)^2 = R_{земли}^2 + d^2$

Выразим отсюда $d$:

$d^2 = (R_{земли} + h)^2 - R_{земли}^2$

Раскроем скобки:

$d^2 = R_{земли}^2 + 2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2 - R_{земли}^2$

$d^2 = 2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2$

$d = \sqrt{2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2}$

Подставим известные значения: $h = 10$ км и $R_{земли} \approx 6400$ км.

Поскольку высота $h$ (10 км) значительно меньше радиуса Земли $R_{земли}$ (6400 км), слагаемым $h^2$ в формуле можно пренебречь для упрощения, так как оно очень мало по сравнению с $2 \cdot R_{земли} \cdot h$. Получим приближенную формулу:

$d \approx \sqrt{2 \cdot R_{земли} \cdot h}$

Теперь выполним расчет:

$d \approx \sqrt{2 \cdot 6400 \text{ км} \cdot 10 \text{ км}} = \sqrt{128000 \text{ км}^2} \approx 357.77 \text{ км}$

Округлим результат до целых километров.

Ответ: наблюдатель видит вокруг себя на расстояние примерно 358 км.