Номер 31, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Пункты А, В и С, стоящие на берегах реки, расположены в вершинах прямоугольного равнобедренного треугольника, а пункты А, D и С лежат на одной прямой, причем пункт D одинаково удален от А и С (рис. 14.21). Как определить расстояние между любыми двумя пунктами?

Рис. 14.21

Для определения расстояния между любыми двумя пунктами необходимо сначала проанализировать их геометрическое расположение, затем измерить одно базовое расстояние, после чего все остальные расстояния можно будет вычислить.

1. Анализ геометрической конфигурации

Из условия задачи и рисунка следует:

• Пункты A, B и C являются вершинами прямоугольного равнобедренного треугольника. Прямой угол находится в вершине B, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Катеты треугольника равны: $AB = BC$. Сторона AC является гипотенузой.
• Пункты A, D и C лежат на одной прямой. Точка D равноудалена от A и C, следовательно, D — это середина отрезка AC.

Таким образом, для нахождения всех расстояний достаточно измерить на местности длину одного отрезка. Наиболее удобным для измерения является расстояние AC, так как точки A, D и C лежат на одной прямой (предположительно на одном берегу реки). Обозначим измеренное расстояние AC как $L$.

2. Расчет расстояний на основе измеренного $AC = L$

Расстояния AD и CD

Поскольку точка D является серединой отрезка AC, то расстояния от нее до концов отрезка равны половине его длины.

$AD = CD = \frac{1}{2} AC = \frac{L}{2}$

Ответ: Расстояния AD и CD равны половине измеренного расстояния AC.

Расстояния AB и BC

В прямоугольном треугольнике ABC применим теорему Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Так как треугольник равнобедренный и $AB = BC$, получаем:

$2AB^2 = AC^2$

Отсюда находим длину катетов:

$AB = BC = \sqrt{\frac{AC^2}{2}} = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{AC\sqrt{2}}{2}$

Подставив $AC = L$, получаем:

$AB = BC = \frac{L\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Расстояния AB и BC вычисляются путем умножения измеренного расстояния AC на величину $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (что примерно равно 0,707).

Расстояние BD

Отрезок BD соединяет вершину B с серединой гипотенузы AC, то есть является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине длины гипотенузы.

$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{L}{2}$

Ответ: Расстояние BD равно половине измеренного расстояния AC (и, следовательно, равно расстояниям AD и CD).