Номер 24, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Найдите синус и косинус угла $A$, изображенного на рисунке 14.14.

а)

б)

Рис. 14.14

Для нахождения синуса и косинуса угла А воспользуемся определениями этих тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Для этого на каждом рисунке достроим прямоугольный треугольник, где угол А будет одним из острых углов. Стороны треугольника определим по клеткам.

а)

Достроим прямоугольный треугольник так, чтобы одна его вершина совпадала с вершиной угла A, а другая лежала на наклонной стороне угла в узле сетки. Из этой точки опустим перпендикуляр на горизонтальную сторону угла.

Получим прямоугольный треугольник, в котором:

- противолежащий катет (длина вертикального отрезка) равен 2 клеткам;

- прилежащий катет (длина горизонтального отрезка) равен 4 клеткам.

Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

гипотенуза $c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь найдем синус и косинус угла A.

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(A) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(A) = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos(A) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

б)

Аналогично пункту а), достроим прямоугольный треугольник.

Получим прямоугольный треугольник, в котором:

- противолежащий катет равен 4 клеткам;

- прилежащий катет равен 2 клеткам.

Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

гипотенуза $c = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь найдем синус и косинус угла A.

Синус угла:

$\sin(A) = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Косинус угла:

$\cos(A) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos(A) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.