Номер 27, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Есть ли ошибки на рисунках 14.17, 14.18? Объясните ответы.

Для рисунка 14.17:

В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $BDC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

Подставим известные значения: $5^2 = 4^2 + BD^2$

$25 = 16 + BD^2$

$BD^2 = 25 - 16$

$BD^2 = 9$

$BD = 3$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = DC^2 + BD^2$

Подставим известные значения: $4^2 = 2^2 + BD^2$

$16 = 4 + BD^2$

$BD^2 = 16 - 4$

$BD^2 = 12$

$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Получаем два разных значения для высоты $BD$ ($3$ и $2\sqrt{3}$). Так как $3 \neq 2\sqrt{3}$, данные на рисунке 14.17 противоречивы. Следовательно, на рисунке 14.17 допущена ошибка.

Для рисунка 14.18:

На рисунке даны следующие условия:

1. Треугольник $LKM$ является прямоугольным, так как $\angle K = 90^\circ$.

2. Точка $Q$ является серединой гипотенузы $LM$, так как $QL = QM$ (помечены двойными штрихами).

3. Отрезок $PQ$ перпендикулярен гипотенузе $LM$, так как $\angle PQL = 90^\circ$ (помечен прямым углом).

4. Отрезки $KP$ и $KQ$ равны, так как помечены одинарными штрихами ($KP = KQ$).

5. Длины отрезков: $LP = 2$ и $KM = 3$.

Исходя из условия 1 и 2, в прямоугольном треугольнике $LKM$ медиана к гипотенузе $KQ$ равна половине гипотенузы, т.е. $KQ = \frac{1}{2} LM$.

Из условия 4, $KP = KQ$, следовательно, $KP = \frac{1}{2} LM$.

Пусть $KP = k$. Тогда $LK = LP + KP = 2 + k$.

Также, поскольку $KQ = \frac{1}{2} LM$ и $QM = \frac{1}{2} LM$, то $QM = k$, и $LM = 2k$.

По теореме Пифагора для $\triangle LKM$:

$LK^2 + KM^2 = LM^2$

$(2+k)^2 + 3^2 = (2k)^2$

$4 + 4k + k^2 + 9 = 4k^2$

$3k^2 - 4k - 13 = 0$

Найдем $k$ (используя формулу для корней квадратного уравнения):

$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-13)}}{2(3)}$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 156}}{6}$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{172}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{43}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{43}}{3}$

Поскольку $k$ является длиной, оно должно быть положительным, поэтому $k = \frac{2 + \sqrt{43}}{3}$.

Теперь проверим условие $PQ \perp LM$. Примем $K$ за начало координат $(0,0)$.

Тогда $M=(3,0)$ и $L=(0, LK) = (0, 2+k) = (0, 2 + \frac{2+\sqrt{43}}{3}) = (0, \frac{8+\sqrt{43}}{3})$.

Координаты точки $Q$ (середины $LM$): $Q = (\frac{0+3}{2}, \frac{0 + \frac{8+\sqrt{43}}{3}}{2}) = (1.5, \frac{8+\sqrt{43}}{6})$.

Координаты точки $P$ (на $LK$, расстояние $KP=k$ от $K$): $P = (0, k) = (0, \frac{2+\sqrt{43}}{3})$.

Вектор $\vec{LM} = M - L = (3 - 0, 0 - \frac{8+\sqrt{43}}{3}) = (3, -\frac{8+\sqrt{43}}{3})$.

Вектор $\vec{PQ} = Q - P = (1.5 - 0, \frac{8+\sqrt{43}}{6} - \frac{2+\sqrt{43}}{3}) = (1.5, \frac{8+\sqrt{43} - 4 - 2\sqrt{43}}{6}) = (1.5, \frac{4-\sqrt{43}}{6})$.

Для того чтобы $PQ \perp LM$, скалярное произведение векторов $\vec{PQ} \cdot \vec{LM}$ должно быть равно нулю:

$\vec{PQ} \cdot \vec{LM} = (1.5)(3) + (\frac{4-\sqrt{43}}{6})(-\frac{8+\sqrt{43}}{3})$

$= 4.5 - \frac{(4-\sqrt{43})(8+\sqrt{43})}{18}$

$= 4.5 - \frac{32 + 4\sqrt{43} - 8\sqrt{43} - 43}{18}$

$= 4.5 - \frac{-11 - 4\sqrt{43}}{18}$

$= 4.5 + \frac{11 + 4\sqrt{43}}{18}$

Это значение явно не равно нулю (так как все слагаемые положительны).Следовательно, условие $PQ \perp LM$ противоречит остальным условиям на рисунке 14.18, и на рисунке 14.18 допущена ошибка.

Рис. 14.17

В треугольнике ABC проведена высота BD к стороне AC, следовательно, $BD \perp AC$. Это означает, что треугольники ABD и CBD являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AD^2 + BD^2$. Подставим известные из рисунка значения: $AB=5$ и $AD=4$.

$5^2 = 4^2 + BD^2$

$25 = 16 + BD^2$

$BD^2 = 25 - 16 = 9$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Также по теореме Пифагора: $BC^2 = CD^2 + BD^2$. Подставим известные значения: $BC=4$ и $CD=2$.

$4^2 = 2^2 + BD^2$

$16 = 4 + BD^2$

$BD^2 = 16 - 4 = 12$

В результате расчетов мы получили два разных значения для квадрата длины одного и того же отрезка BD ($BD^2=9$ и $BD^2=12$). Это является противоречием. Следовательно, заданные на рисунке длины сторон не могут существовать в одном треугольнике при указанных условиях.

Ответ: Да, на рисунке есть ошибка.

Рис. 14.18

На рисунке изображен треугольник LKM. Угол LKM обозначен как прямой ($ \angle LKM = 90^\circ $), следовательно, треугольник LKM — прямоугольный. Длина катета $KM = 3$. Катет LK состоит из двух отрезков LP и PK. Штрихами обозначено, что $LP = PK$. Так как $LP=2$, то и $PK=2$, а вся длина катета $LK = LP + PK = 2 + 2 = 4$.

Найдем длину гипотенузы LM по теореме Пифагора:

$LM^2 = LK^2 + KM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$LM = \sqrt{25} = 5$

Точка Q на гипотенузе LM отмечена так, что $LQ=QM$ (показано двойными штрихами). Это значит, что Q — середина гипотенузы. Тогда длина отрезка LQ равна:

$LQ = \frac{1}{2} LM = \frac{5}{2} = 2.5$

Также на рисунке указано, что отрезок $PQ \perp LM$, то есть угол $\angle PQL = 90^\circ$. Это означает, что треугольник LPQ должен быть прямоугольным, а его гипотенуза LP (сторона, лежащая напротив прямого угла) должна быть длиннее катета LQ. То есть, должно выполняться неравенство $LP > LQ$.

Однако, по данным с рисунка, $LP = 2$, а мы вычислили, что $LQ = 2.5$. Неравенство $2 > 2.5$ неверно. Это противоречие.

Следовательно, условия, представленные на рисунке (что Q — середина LM и что $\angle PQL = 90^\circ$ одновременно), несовместимы.

Ответ: Да, на рисунке есть ошибка.