Номер 23, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Выведите формулу для радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно $c$, а боковая сторона равна $b$.

Для вывода формулы радиуса описанной окружности воспользуемся общей формулой, связывающей радиус, стороны треугольника и его площадь. Пусть дан равнобедренный треугольник со сторонами b, b и c (где c – основание).

1. Формула радиуса описанной окружности

Радиус R окружности, описанной около любого треугольника со сторонами x, y, z и площадью S, вычисляется по формуле:

$R = \frac{xyz}{4S}$

В нашем случае стороны треугольника равны b, b и c. Подставляя эти значения, получаем:

$R = \frac{b \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{b^2c}{4S}$

2. Нахождение площади треугольника (S)

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти площадь S равнобедренного треугольника. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту.

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

где h – высота, проведенная к основанию c. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{c}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной b (гипотенуза), высотой h (катет) и половиной основания $\frac{c}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{c}{2})^2 = b^2$

Выразим отсюда высоту h:

$h^2 = b^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{4b^2 - c^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{4b^2 - c^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - c^2}}{2}$

Теперь подставим найденную высоту в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - c^2}}{2} = \frac{c\sqrt{4b^2 - c^2}}{4}$

3. Вывод итоговой формулы для радиуса (R)

Теперь у нас есть все компоненты для нахождения радиуса R. Подставим выражение для площади S в формулу, полученную в первом шаге:

$R = \frac{b^2c}{4S} = \frac{b^2c}{4 \cdot \frac{c\sqrt{4b^2 - c^2}}{4}}$

Сокращаем 4 в числителе и знаменателе дроби в знаменателе:

$R = \frac{b^2c}{c\sqrt{4b^2 - c^2}}$

Сокращаем c в числителе и знаменателе:

$R = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - c^2}}$

Это и есть искомая формула.

Ответ: $R = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - c^2}}$