Номер 32, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Арабская задача.

На разных берегах реки растет по пальме. Высота одной — 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность реки между пальмами (рис. 14.22). Птицы кинулись разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба?

Рис. 14.22

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Пусть $h_1$ — высота более высокой пальмы, а $h_2$ — высота менее высокой. Пусть $D$ — расстояние между основаниями пальм.

Дано:

$h_1 = 30$ локтей

$h_2 = 20$ локтей

$D = 50$ локтей

Обозначим искомое расстояние от основания более высокой пальмы до места, где всплыла рыба, через $x$. Тогда расстояние от места, где всплыла рыба, до основания менее высокой пальмы будет равно $D - x$, то есть $50 - x$.

Птицы сидят на верхушках пальм. Когда они летят к рыбе, их траектории образуют гипотенузы двух прямоугольных треугольников.

Для первой птицы (с более высокой пальмы) катетами треугольника являются высота пальмы $h_1$ и расстояние по поверхности реки $x$. Длина пути первой птицы, обозначим её $d_1$, по теореме Пифагора равна:

$d_1^2 = h_1^2 + x^2 = 30^2 + x^2$

Для второй птицы (с менее высокой пальмы) катетами являются высота пальмы $h_2$ и расстояние по поверхности реки $50 - x$. Длина пути второй птицы, обозначим её $d_2$, равна:

$d_2^2 = h_2^2 + (50 - x)^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

По условию задачи, птицы кинулись разом и достигли рыбы одновременно. Это означает, что они летели с одинаковой скоростью и пролетели одинаковое расстояние. Следовательно, $d_1 = d_2$, а значит и $d_1^2 = d_2^2$.

Приравняем выражения для квадратов расстояний:

$30^2 + x^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

Теперь решим это уравнение:

$900 + x^2 = 400 + (2500 - 100x + x^2)$

$900 + x^2 = 400 + 2500 - 100x + x^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$900 = 2900 - 100x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$100x = 2900 - 900$

$100x = 2000$

$x = \frac{2000}{100}$

$x = 20$

Таким образом, расстояние от более высокой пальмы до места, где всплыла рыба, составляет 20 локтей.

Ответ: рыба всплыла на расстоянии 20 локтей от более высокой пальмы.