Номер 15, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно 2, а высота равна 1. Изобразите эту окружность.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BH$, проведенной к основанию. По условию задачи, длина основания $AC = 2$, а длина высоты $BH = 1$.

Нахождение радиуса окружности

Для решения задачи можно использовать два основных способа.

Способ 1: Через общую формулу радиуса описанной окружности
Радиус $R$ описанной около любого треугольника окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.
1. Найдем площадь треугольника $S$. Она равна половине произведения основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.
2. Найдем длины боковых сторон. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ – середина основания $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $BC$: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $BC = \sqrt{2}$. Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = \sqrt{2}$.
3. Теперь, зная все стороны ($AC=2, AB=\sqrt{2}, BC=\sqrt{2}$) и площадь ($S=1$), вычисляем радиус: $R = \frac{AC \cdot AB \cdot BC}{4S} = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4 \cdot 1} = \frac{2 \cdot 2}{4} = 1$.

Способ 2: Через свойства прямоугольного треугольника
Проверим, является ли наш треугольник прямоугольным, используя найденные длины сторон. Для этого применим теорему, обратную теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$. $AC^2 = 2^2 = 4$. Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а его основание $AC$ — гипотенузой. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы, а радиус равен половине ее длины. $R = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Этот способ подтверждает результат, полученный ранее.

Изображение окружности

Из решения следует, что центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой основания треугольника, точкой $H$. Радиус окружности $R=1$. Вершины $A$ и $C$ удалены от центра $O$ на расстояние $1$ (так как $AH=HC=1$). Вершина $B$ также удалена от центра $O$ на расстояние $1$, так как высота $BH=1$. Таким образом, все три вершины лежат на окружности с центром в точке $H$ и радиусом $1$.

Ответ: 1.