Номер 10, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Из условий задачи составим систему уравнений.

Первое условие: "Гипотенуза на 1 больше одного из катетов". Предположим, что это катет $a$. Тогда получаем уравнение:
$c = a + 1$

Второе условие: "сумма катетов на 4 больше гипотенузы". Это дает нам второе уравнение:
$a + b = c + 4$

Так как треугольник прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора, которая дает третье уравнение:
$a^2 + b^2 = c^2$

Теперь необходимо решить полученную систему уравнений:
1) $c = a + 1$
2) $a + b = c + 4$
3) $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражение для $c$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$a + b = (a + 1) + 4$
$a + b = a + 5$
Вычтем $a$ из обеих частей уравнения и получим длину катета $b$:
$b = 5$

Теперь подставим $b = 5$ и $c = a + 1$ в уравнение (3) (теорему Пифагора), чтобы найти катет $a$:
$a^2 + 5^2 = (a + 1)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$a^2 + 25 = a^2 + 2a + 1$
$25 = 2a + 1$
$24 = 2a$
$a = 12$

Мы нашли длины обоих катетов. Теперь найдем длину гипотенузы $c$, используя уравнение (1):
$c = a + 1 = 12 + 1 = 13$

Проверим, удовлетворяют ли найденные стороны ($a=12$, $b=5$, $c=13$) всем условиям задачи:
1. Гипотенуза (13) на 1 больше катета (12): $13 = 12 + 1$. Верно.
2. Сумма катетов ($12 + 5 = 17$) на 4 больше гипотенузы (13): $17 = 13 + 4$. Верно.
3. Теорема Пифагора: $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$, и $13^2 = 169$. Верно.

Ответ: Стороны треугольника равны 5, 12 и 13.