Номер 9, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором:

а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см;

б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов – $5:12$.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи, гипотенуза $c = 10$ см, а разность катетов равна 2 см. Пусть $a$ - больший катет, а $b$ - меньший, тогда $a - b = 2$, откуда можно выразить $a = b + 2$. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные значения и выражение для $a$ в это уравнение: $(b + 2)^2 + b^2 = 10^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $b^2 + 4b + 4 + b^2 = 100$ $2b^2 + 4b - 96 = 0$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $b^2 + 2b - 48 = 0$ Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$ $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$ Найдем значения для $b$: $b_1 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$ $b_2 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$ Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, корень $b_2 = -8$ не подходит. Следовательно, длина одного катета $b = 6$ см. Теперь найдем длину второго катета $a$: $a = b + 2 = 6 + 2 = 8$ см. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.
Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, гипотенуза $c = 26$ см, а отношение катетов $a:b = 5:12$. Из отношения катетов следует, что их длины можно представить как $a = 5x$ и $b = 12x$, где $x$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Применим теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим выражения для $a$, $b$ и значение $c$: $(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$ Возведем в квадрат: $25x^2 + 144x^2 = 676$ Сложим слагаемые с $x^2$: $169x^2 = 676$ Найдем $x^2$: $x^2 = \frac{676}{169} = 4$ Найдем $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны должна быть положительной, берем только положительное значение корня: $x = \sqrt{4} = 2$ Теперь найдем длины катетов, подставив значение $x$: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см. $b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.
Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.